11 유한요소 해석모델¶
11.1 유한요소법의 개념¶
유한요소법은 미분방정식과 경계조건으로 이루어진 경계치 문제의 근사해법에 근간을 두고 있다. 경계치 문제의 근사해법은 수학적으로 Ritz 법과 Galerkin 법으로 대표된다. 경계치 문제의 근사해법은 기하학적 경계조건, 즉 필수경계조건을 만족하는 기지의 함수(기초함수)의 선형조합, 즉 기초함수에 상수를 곱하여 더한 함수를 미지의 시도함수로 두고 최적의 상수를 결정하는 것으로 요약된다. 따라서 사실상 상수를 결정하는 문제로 바꾸어 해를 근사적으로 구한다. 이 때 해의 정확도는 어떤 함수를 기초함수로 사용하느냐에 따라 달라진다.
유한요소법은 이 기지의 함수를 체계적으로 생성하는 방법, 즉 유한요소보간법에 근거하고 있다. 유한요소보간법은 해석영역을 절점과 요소로 이산화하는 것으로부터 시작된다. 해석에 앞서 해석 대상물체를 일정한 규칙을 만족하는 요소와 절점으로 자르는데 이를 유한요소이산화라고 하고, 각 절점에 하나의 보간함수(일종의 기초함수임)를 정의하는데 이를 유한요소보간이라고 한다. 이산화된 유한요소 해석모델은 절점에 의하여 정의되는 유한요소의 집합으로 이루어지며, 각 절점에 하나의 기지의 함수, 즉 보간함수(interpolation funtion) 또는 형상함수(shape function)가 규칙적으로 정의된다. 이 보간함수는 그 절점에서 1의 함수값을 갖고 나머지 절점에서는 0의 함수값을 갖는 특징을 갖고 있다. 따라서 이 보간함수의 선형조합에서 계수는 그 함수의 절점치를 의미한다. 왜냐하면, 그 점에서 0이 아닌 보간함수는 그 점에서 정의되는 보간함수밖에 없으며, 그 값이 1이기 때문이다. 이러한 보간함수는 필수경계조건을 손쉽게 만족시킬 수 있게 해 주는 장점이 있다. 그러나 해의 정확도를 보간함수에 초점을 맞추어 고려하면 실망하게 될 것이다.
함수의 형태가 해와는 크게 다르기 때문이다. 그런데 이론에 의하면, 필수경계조건을 만족하는 보간함수의 수를 하나씩 추가하면, 점진적으로 해의 정확도가 향상되며, 궁극적으로 정해에 근접한다. 기지의 보간함수를 증가시킨다는 것은 절점의 수를 증가시킨다는 의미이다. 통상 요소 수를 자유도의 측도로 사용되고 있으나, 이론적으로 절점 수를 기준으로 하는 것이 옳다. 보간함수의 증가는 미지수, 즉 자유도의 증가를 초래하며, 이 문제는 컴퓨터가 해결해 준다. 경계치 문제의 근사해법에서는 기본적으로 기지함수의 품질에 해석결과의 정확도가 의존적이다. 따라서 해석영역의 이산화, 즉 요소망생성은 중요하다.
유한요소해석에서 선형요소를 사용한다면, 절점을 연결하는 요소의 에지(edge), 즉 선분은 직선으로 유지된다. 따라서 요소의 강성은 실제보다 커지기 때문에 유한요소해석 결과로 획득된 성형하중은 실제의 성형하중에 비하여 다소 클 수밖에 없다. 전술한 내용이 유한요소법이 가능하게 된 역학적, 수학적, 기술적 배경이다. 유한요소법에 관한 기초지식을 부록 B에 정리하였다.
결론적으로 요소망의 품질이 유한요소법에서 가장 중요하다. 유한요소법은 사용된 보간함수로 만들 수 있는 최적의 해를 구해 주므로 요소망의 품질이 해의 정확도를 결정한다. 요소의 수를 많게 하면, 절점의 수가 많아질 것이고 일반적으로 해의 정확도는 개선된다. 그러나 3차원 해석 시에는 계산시간이 문제될 수가 있다. 그리고 요소망재구성이 수반되는 소성가공 시뮬레이션에서 요소 수를 증가시키면 일반적으로 요소망재구성의 회수도 증가한다. 요소망재구성은 해석경계의 인위적 변경과 상태변수의 수치적 변화를 불러일으킨다.
따라서 해석 대상 물체를 적절한 수의 요소로 잘라 주면서 정확도를 높이는 기술이 중요하다. 소성변형이 큰 부위에서는 상대적으로 촘촘하게 잘라야 하고, 반대로 변형이 적은 영역에서는 상대적으로 듬성하게 잘라도 된다. 유한요소보간 오차를 고려한 최적의 요소망생성 기술을 적응요소망생성(adaptive mesh generation)이라고 하며, 소성가공 시뮬레이션에서 향후의 접촉 조건 등을 고려한 요소망생성 기술을 지능적 요소망재구성(intelligent remehsing)이라고 칭하고 있다.
2차원의 경우, 삼각형요소와 사각형요소가 일반적으로 사용되고 있고, 3차원의 경우 에는 사면체요소와 육면체요소가 널리 사용되고 있다. 경험적으로 보면, 사각형요소와 육면체요소는 소위말하는 수치적 로킹(numerical locking) 문제로부터 벗어나 있다. 그러나 2차원에서의 삼각형요소와 3차원에서의 사면체요소는 수치적 로킹 문제에 노출되어 있다. 사면체요소망에서는 일반적으로 요소의 수가 절점의 수보다 5배 정도 크기 때문에 수치적 로킹 문제가 발생한다. 반면, 육면체요소망에서는 절점의 수가 요소의 수보다 많기 때문에 그렇지 않다. 삼각형요소망 또는 사면체요소망을 사용할 때, 전술한 수치적 로킹 문제의 해소를 위하여 특별한 방법을 사용해야 하는데, 그 대표적인 방법이 삼각형 MINI-요소 또는 사면체 MINI-요소의 사용이다. 사실 다른 문제만 없다면, 수치적 문제가 없는 사각형요소와 육면체요소가 유리하다. 그런데 육면체요소의 자동 요소망재구성이 용이하지 않다. 따라서 현실적으로 2차원에서는 사각형요소를 사용하고 3차원에서는 자동요소망재구성이 가능한 사면체요소를 사용하는 것이 하나의 대안이 될 수 있다.
물론 대부분의 상용 소프트웨어에서는 요소망밀도의 최적화 기능을 갖추고 있다. 그러나 특별한 문제의 경우에는 사용자의 개입에 의한 최적 요소망의 생성이 필요할 수도 있다. 이러한 목적으로 생성된 요소망을 그림 11.15(파인블랭킹 공정)와 그림 11.16(코이닝 공정)에서 찾아 볼 수 있다.
요소의 수(사실 그것보다 절점의 수가 더 중요함. 그렇지만 요소의 수와 절점의 수는 비례관계에 있으므로 통상 절점의 수 대신 요소의 수를 사용함)에 따라 예측결과는 다소의 영향을 받는다. 그러나 소재의 표면을 표현하는데 충분한 정도의 요소 수를 사용하면, 전체적인 예측결과는 큰 영향을 받지 않는다. 가령, 그림 11.1은 업셋팅공정의 해석결과로써 얻은 유효변형률분포인데, 그림 11.1⒜에서는 500개 내외의 사각형요소를 사용하였고, 그림 11.1⒝에서는 5000 개 내외를 사용하였지만, 그 결과가 크게 다르지 않음을 알 수 있다. 비록 요소의 수를 극단적으로 작게 했음에도 불구하고 유효변형률속도의 분포에서 대칭성을 만족하고 있다. 그리고 그림 11.2에서 보는 바와 같이 요소망의 수에 따라 해석결과의 차이가 크지 않음을 확인할 수 있다. 요소 수에 따른 해석결과의 차이가 작을수록 안정적인 소프트웨어라고 할 수 있을 것이다. 따라서 이 점은 소프트웨어의 신뢰성을 평가하는데 있어 중요한 고려 사항이 될 수도 있다.
(a) 500개의 사각형요소 (b) 5000개의 사각형요소
그림 11.1 요소 수에 따른 변형률속도의 분포
11.2 사각형요소망¶
2차원 경계치 문제의 유한요소해석을 위하여 사용되는 요소로 삼각형요소와 사각형요소가 있다. 삼각형요소망의 생성은 상대적으로 쉽고 일반성을 지닌 장점이 있다. 그러나 수치적으로 요소강성이 증가하는 문제가 존재한다. 사각형요소망에 비하여 상대적으로 요소 수/절점 수의 비율이 크기 때문이다. 즉, 요소는 부피불변 조건으로 인하여 자유도를 감소시키는 반면, 절점은 미지의 변수(속도/변위, 정수압)의 수, 즉 자유도를 증가시키기 때문이다.
반면, 사각형요소망은 삼각형요소망에 비하여 전술한 장점이 있지만, 요소망의 생성에 많은 어려움이 따르는 것이 문제이다. 가령, 뾰족한 형상을 지닌 해석영역의 사각형요소망의 생성은 쉽지 않다. 그러나 수치적 관점과 결과의 정확도 관점에서 사각형요소망이 유리하고, 소성가공 해석 중에 발생하는 대부분의 해석영역이 사각형요소망으로 이산화될 수 있기 때문에 사면체요소망이 전반적으로 유리하다. 요소망재구성 시에 경계조건과 특이점 등의 기하학적 정보를 유지시키는 것은 중요하다. 이것이 바뀌면, 경계치 문제 자체가 크게 바뀌기 때문이다. 그리고 요소망재구성 시에 소재의 경계를 표현하는 절점들이 금형으로부터 분리될 가능성이 있는지와 새로 접촉할 가능성이 있는지 등을 종합적으로 평가하여 결정되어야 한다. 그리고 소성가공 공정해석에서 표면상의 요소의 경계에 대한 직각도와 내부 요소의 직각도는 해석결과에 중요한 영향을 미친다. 표면요소의 표면에 대한 직각도가 나쁠 때, 표면 응력 등의 진동을 발생시키며, 이는 해의 정확도에 다소 영향을 미칠 수 있다.
그림 11.3에 자동생성된 사각형요소망을 나타내었으며, 상세한 내용은 참고문헌[11.1]로 대신한다.
(a) 금형 (b) 단조 공정
(c) 요소밀도 제어
그림 11.3 사각형요소망
11.3 사면체요소망¶
해석영역이 고정되어 있는 3차원 경계치 문제의 해석 목적으로 다양한 종류의 유한요소가 사용되고 있다. 육면체요소, 사면체요소, 오면체요소 등이 그 예이다. 그러나 해석 중에 해석영역의 형상이 복잡하게 변하는 소성가공 목적으로 사용될 수 있는 요소망은 현실적으로 사면체요소밖에 없다. 사면체요소망은 Delaunay 삼각화 기법으로 자동 생성되며, 실용적인 사면체요소망 생성 프로그램은 Delaunay 삼각화 기법에다 요소망의 품질 향상을 위하여 요소망 밀도 제어 기능과 최적화 및 지능화 기능을 보강한 것으로 요약된다[11.2].
그림 11.4의 좌편은 해석 도중에 요구된 요소밀도를 나타내고 있으며, 오른쪽의 그림은 이 요구조건을 만족하는 생성된 요소망을 나타내고 있다. 그림에서 보는 바와 같이 생성된 요소망은 희망 요소밀도를 잘 반영하고 있다. 그림 11.5는 소성가공 시뮬레이션 중의 일반적인 요소망을 보여 주고 있고, 그림 11.6은 사용자의 요소밀도 지정에 의한 요소망재구성 사례를 보여주고 있다. 이 그림들에서 보는 바와 같이 사면체요소망 생성 기술은 소성가공 시뮬레이션에 적합하도록 개발될 수 있는 장점이 있다.
일반적으로 사면체요소망은 요소 수와 절점 수의 비율, 즉 (요소 수/절점 수)의 값이 5.0을 넘는다. 따라서 요소별로 비압축성(부피불변) 조건을 적용하면, 과구속의 문제가 발생하며, 이를 수치적 로킹(numerical locking)이라고 한다.
이 문제의 해소를 위하여 사면체 MINI-요소가 널리 사용되고 있다[8.3, 11.3].
(a) 요구된 희망 요소밀도 (b) 생성된 사면체요소망
그림 11.4 사면체요소망의 밀도 제어
사면체요소망
(inner race)
그림 11.6 사용자의 요소밀도 지정에 의한 3차원 요소망재구성
11.4 요소망재구성¶
한편, 식 (8.14), 식 (8.15), 식 (8.103), 식 (9.8), 식 (10.29)에서 보는 바와 같이 계산 과정은 적분에 근거하고 있다. 각 요소에 대한 적분은 표준 적분 구간으로 사상되어 수치적분법에 의하여 계산되는데, 이 때 요소의 형상에 대한 제약이 따른다. 소성가공 공정의 해석이 진행되는 과정에서 요소의 심한 변형으로 적분이 불가능하게 되면, 필연적으로 요소를 다시 만들어 주어야 한다. 이를 요소망재구성(remeshing)이라고 한다. 이것은 체적소성가공 공정 해석의 특징적 문제이다. 소성가공 시뮬레이터에서 유한요소방정식을 만드는 과정에서 각 요소를 표준구간으로 사상을 하는데, 이 때 소위말하는 Jacobian이 양수가 되어야 원래의 영역과 표준구간에 사상된 영역이 1대1 대응관계를 갖게 되고, 이러한 경우에만 적분이 가능하다. 요소가 심하게 뒤틀리게 되면, 즉 그림 11.7(a)의 사각형요소에서 \(\alpha\) 가 음수가 되면, Jacobian이 음수가 되어 더 이상 정상적인 방법으로 해를 구할 수가 없게 된다.
실제의 해석 시에는 요소망의 품질을 좋게 유지하기 위하여 \(\alpha\) 값이 입력된 \(\alpha_a\) 보다 작으면 요소망재구성이 발생하도록 한다. 요소망의 찌그러짐 그 자체도 중요하지만, 해석결과를 좌우하는 요소 중에는 소재와 금형과의 접촉 조건을 적합하게 유지하는 것도 중요하다. 가령, 그림 11.7(b)와 11.7(c)에서 보는 바와 같이 가장 보편적으로 사용되고 있는 선형요소를 사용할 경우에는 소재의 경계는 외곽절점의 연결로 정의된다. 그러므로 소성가공 시뮬레이션 시에 소재가 금형을 침투하는 것은 불가피하다. 곡선 상에서 인접한 두 절점을 연결하면 소재의 경계는 금형을 벗어나거나 금형과 소재 사이에 빈 공간이 발생하는 것은 불가피하다. 소성가공 시뮬레이터가 일정 수준 이상 지능화되어 있다면, 후자는 소성가공 시뮬레이션 중에서 잘 나타나지 않는다. 반면, 전자는 매우 흔하게 나타난다. 비록 요소망이 일그러지지 않았지만, 요소망재구성을 실시해야 하는 상황이 발생하는 것이다. 이 때 필요한 것이 소재가 금형을 침투할 수 있는 깊이를 규제하는 일이다. 주요 입력변수 중의 하나인 소재의 금형침투허용깊이는 단조품의 크기에 비교적 큰 영향을 받으며, 어느 정도의 경험적 요소가 이 값을 결정하는데 도움이 될 수 있다.
전술한 것 이외에도 요소망재구성이 필요한 경우는 다양하다. 그런데 요소망재구성은 무시할 수 없을 만큼의 오차를 필연적으로 발생시킨다. 첫째는 요소망재구성으로 소재 표면의 형상이 바뀌는데 그 오차는 탄성의 영향에 비하여 훨씬 클 수가 있다. 그리고 내부에서는 유효변형률과 같은 이력변수 등을 포함한 상태변수의 순화(numerical smoothing)를 필연적으로 초래한다. 상태변수의 순화는 최대값을 줄이고 최소값을 증가시키는 경향이 있으며, 순화의 정도가 요소의 품질에 크게 좌우될 수 있다. 요소의 수를 증가시키면, 일반적으로 해의 정도는 향상되지만, 요소망재구성이 요구되는 소성가공 공정 시뮬레이션에서는 상황이 이와 다를 수 있다. 요소의 수가 증가할수록 요소망재구성의 빈도가 증가하며, 경계와 상태변수의 수치적 오차가 증가하여 전체적으로는 나쁜 결과로 나타날 수도 있다. 물론 이러한 문제는 국부요소망재구성으로 어느 정도는 극복이 가능하다.
(a) (b) (c)
그림 11.7 요소망재구성을 실시해야 하는 경우
11.5 바람직한 요소망¶
다음은 유한요소해석 결과의 특성을 파악하기 위한 1차원 경계치 문제이다.
이 경계치 문제의 정답은
이다. 이 경계치 문제의 특징은 절점에서 정답을 예측하는 초수렴(super-convergence) 특성에 있다는 사실이다.
그림 11.8은 세 가지 다른 요소망으로 얻은 유한요소해를 비교하고 있다. 이 그림에서 보는 바와 같이 절점에서 정답이 예측된다. 따라서 일반적으로 절점의 수, 즉 자유도가 많아지면, 해의 정확도가 개선된다. 그러나 절점의 수를 증가시킨다고 무조건 해의 정확도가 기대한 만큼 증가하는 것은 아니다. 그림에서 보는 바와 같이 3 요소의 요소망에서 좌측 요소에 추가적인 절점을 추가하더라도 해의 정확도는 큰 영향을 받지 않는다. 이론적으로는 기존의 요소망에다 부과된 추가적인 절점을 반영한 국부적 요소의 변경은 해석결과의 정확도를 무조건 향상시킨다. 그림 11.8은 해의 변화가 심한 곳에 많은 절점을 분포시키는 것이 바람직하다는 것을 직관적으로 알려 주고 있다.
(a) (b) (c)
그림 11.8 요소망에 따른 해의 비교
전술한 논거를 바탕으로 조밀 요소망일수록, 특히 상태변수의 변화가 큰 부분에서 요소망이 조밀할수록 해의 정확도는 개선된다. 구조해석에서는 이러한 논리가 맞다. 그러나 요소망재구성이 필요한 체적소성가공 공정의 해석에서는 이것은 사실과 다르다. 바로 요소망재구성 때문이다. 요소망재구성은 소성가공에서 중시하는 외피의 모양을 인위적으로 변화시키며, 내부에서는 변형률을 비롯한 상태변수의 순화가 발생한다. 외피의 변화는 국부적으로 형상의 수치적 변화에도 큰 영향을 미치지만, 인위적 부피변화에 따라 전체적인 형상과 성형하중 등에도 직간접적으로 영향을 미친다. 요소망재구성 과정에서 요소치를 절점치로 바꾸고 이 절점치를 다시 요소치로 바꾸는 과정이 요구되는데 이 과정은 일반적으로 국부적 극대값을 인위적으로 낮추고 반대로 국부적 극소값을 높이는 결과를 초래하는데, 이것이 수치적 순화이다. 따라서 요소망재구성 빈도를 줄이고 필요 시에는 국부 요소망재구성 기법을 적절히 활용하는 것이 바람직하다. 따라서 요소밀도가 양호할 때 절점의 수가 클수록 해의 정확도 관점에서 유리한 구조해석과는 달리 조밀요소망보다 적절한 자유도와 요소밀도로 이루어진 요소망이 바람직한 요소망이다. 그림 11.9는 바람직한 요소망의 사례이다. 이 요소망들은 소재의 형상을 충분한 정도로 표현하면서도 요소의 수가 작다. 물론 바람직한 요소망은 내부에서 상태변수의 구배를 충분히 표현할 수 있는 정도의 요소밀도가 갖추어져야 한다.
그림 11.9 바람직한 요소망의 사례
그리고 소성가공 공정 해석 문제는 대표적인 경계치 문제이므로 요소망재구성 전후에서 경계조건의 변화가 최소화가 되어야 한다. 따라서 금형-소재 접촉경계의 적절한 표현도 중요하다. 그림 11.10은 경계조건의 변화를 강조한 지능적 요소망재구성의 사례를 나타낸다. 그림 11.10⒜의 2차원 지능적 요소망생성 사례에서 보는 바와 같이, 좌편의 표면 요소밀도와 우측의 압력분포가 어떤 연계관계에 있음을 알 수 있다. 이것은 요소망재구성 시에 접촉 불안전 지점 또는 경계조건 변경 가능 지점을 중심으로 요소밀도를 조절한 결과이다. 그림 11.10⒝의 요소망재구성 전후에서 볼 수 있는 바와 같이, 요소망재구성 전후에서 접촉 경계가 살아있다는 느낌을 준다.
(a) 2차원
Before remeshing
After remeshing
그림 11.10 경계조건의 변화를 강조한 지능적 요소망재구성 사례
11.6 특수 요소망의 사례¶
11.6.1 피부요소망¶
열간 소성가공 공정에서 실제 확산항의 영향이 크고, 열적 정보의 불명확성으로 등온해석이 공학해석 목적, 즉 단류선, 성형하중, 결함 여부 등의 예측 목적으로 유리할 수가 있다. 그러나 최근 소성가공 공정의 해석 목적으로 이론적인 측면에서 실공정과 보다 더 비슷한 비등온해석이 널리 행해지고 있다. 이러한 추세는 금속학적 예측 기술의 발전과 함께 점증할 것으로 사료된다. 비등온해석 기술[11.4]은 1970년대에 이론적으로 확립되었지만, 여전히 응용에 앞서 선결되어야 할 문제가 남아 있다. 실용성을 높이기 위해서 고정도의 열적 정보의 확보와 함께 수치적 문제[11.5]에 관한 이해가 선행되어야 한다.
비등온해석 문제에서 금형과 소재의 접촉면에서의 역학적 불명확성은 크다. 두 접촉면 간의 열전달을 대류 조건으로 일반적으로 수식화하고 있는데, 열전달계수의 불명확성은 매우 높다. 뿐만 아니라 대류 열전달과 표면에서의 전도 열전달이 동일해야 하지만, 이 조건을 만족시키기 위해서 적합한 요소망이 사용되어야 한다. 대류 열전달은 열전달계수와 온도의 차이로 계산되며, 초기값은 기지의 값으로 그 크기가 작지 않다. 이것을 만족시키는 전도 열전달이 발생하기 위해서는 일정 크기의 온도구배가 표현될 수 있는 요소망이 사용되어야 한다[11.5]. 극단적으로 조대한 요소를 사용한다면, 경계조건에서 오차를 크게 발생시킬 수밖에 없다.
이 절에서는 피부요소(skin element)를 사용하여 요소망과 비등온해석 결과의 인과 관계를 밝힘으로써 고정도의 비등온해석 결과를 획득하기 위한 직관을 정립하고자 한다.
그림 11.11은 열간 업세팅 공정이며, 피부요소가 적용되지 않은 소재와 금형을 나타내고 있다. 소재의 유동응력은 그림 11.11에서 보는 바와 같으며, 마찰계수를 0.2로 가정한다. 소재는 AISI 1020 (\(T=600-1300^\circ\text{C}\))이며, 금형의 소재는 금형강이다. 초기의 소재와 금형의 온도는 각각 \(1100^\circ\text{C}\)와 \(300^\circ\text{C}\)이다. 펀치의 속도를 200mm/s로 가정한다.
접촉면에서의 경계조건은 다음 수식으로 표현된다.
여기서 \(h\) 는 열전달계수이며, \(k\) 는 열전도계수이다. \(T_\infty\) 는 대기의 온도이다.
소재가 금형에 최초로 접촉할 때 식 (11.1)의 우변은 매우 큰 값이며, 온도구배 \(\nabla T\) 를 제외한 모든 값은 고정되어 있다고 간주할 수 있다. 그러므로 소재와 대기 온도 차가 커 온도구배가 클 경우, 온도 예측결과는 표면 요소망의 품질에 크게 의존적일 수가 있다. 가령, 온도의 변화가 크게 발생하는 박판열간압연에서는 압연롤 표면에서 발생하는 큰 온도변화를 표현하기 위해서는 롤 표면에 밀집한 고밀도 요소망을 사용해야 한다. 이러한 문제의 이해를 위하여 피부요소의 영향 분석이 유의미하다.
(a) 일반요소망
(b) 피부요소망(5층 피부요소,
전체 피부요소 두께 = 0.6mm)
그림 11.12는 피부요소 층의 전체 두께가 0.6mm이며 피부요소의 층 수가 5 개인 피부요소망(그림 11.11⒝)을 이용한 해석결과이다. 이 그림에서 보는 바와 같이, 온도의 분포가 접촉영역에서 급격하게 변함을 알 수 있다.
그림 11.12 유한요소 예측결과 (5층 피부요소, 전체 피부요소 두께 = 0.6mm)
그림 11.12는 피부요소를 사용하지 않고 구한 해석결과와 전체 두께가 0.6mm인 피부요소 층을 수가 1, 2, 3, 4, 5, 10, 15 개인 피부요소를 사용하여 획득한 해석결과들을 비교하고 있다. 이 그림으로부터 피부요소를 사용하지 않고 구한 온도 분포는 2층 이상의 피부요소를 사용한 온도 분포와 분명한 차이를 보이고 있다. 1 층의 피부요소는 2 층 이상의 피부요소와는 뚜렷한 차이를 보이고 있다. 전반적으로 볼 때, 피부요소의 사용으로 무시할 수 없는 크기의 금형의 온도 차이의 예측 결과를 초래하고 있다. 이 차이는 금형의 수명 평가 결과에 무시할 수 없는 영향을 미치는 수치이다. 그림 11.13(그림 11.11의 측정점에서 두께 방향으로의 온도분포)에 따르면, 0.2mm의 피부요소는 그림 11.11의 예제 문제에서 발생하는 급격한 온도 차이에 의한 열충격을 반영하기에 충분히 작다고 할 수 있다.
(a) 금형
(b) Material
11.6.2 기타 특수 요소망¶
(1) 2차원 완전해석
완전해석(complete analysis)는 금형의 탄성변형을 고려한 해석을 일컫는다. 이 해석의 목적으로 모든 금형 부품의 접촉처리가 되어야 하고, 이에 적합한 요소망의 구성이 필요하다. 접촉면에서 요소의 밀도 차이가 크지 않게 하는 것이 바람직하다. 그림 11.14⒜는 축대칭 열간단조 공정의 완정해석을 위한 초기 요소망을 나타낸다.
(a) 2 완전해석
(b) Mannesmann 롤 피어싱
(c) 접합판재금속
(2) Mannesmann 롤 피어싱 목적의 요소망
심리스 파이프(seamless pipe) 제조 목적의 Mannesmann 롤 피어싱 공정의 해석을 위해서는 그림 11.14⒝에서 보는 바와 같이 니플(nipple) 부의 형상을 적절히 표현할 수 있어야 하고 롤과 재료의 안정적 접촉이 이루어질 수 있는 요소밀도가 필요하다. 그러나 니플부를 너무 조밀하게 하면 빈번한 요소망재구성이 요구된다. 그리고 너무 조대한 요소망을 사용한다면, 그림에서 보는 바와 같이 Mannesmann 롤 피어싱 공정의 해석에서 중요한 공극이 표현되지 않을 수도 있다.
(3) 접합판재금속
표면의 품질, 구조적 안정성, 가격 등을 고려하여 접합판재금속(clad-metal)이 광범위하게 사용된다. 대표적인 것이 티타늄을 입힌 알루미늄 판재이다. 이러한 접합판재금속의 요소망은 적층을 하여 생성될 수밖에 없다. 적절한 적층 수가 중요하다. 적층 수의 증가는 요소 수의 증가를 초래하고 낮은 적층 수는 두께 방향의 응력 변화를 충분히 표현하지 못하는 문제를 안고 있다. 이러한 문제의 효율적 해석을 위하여, 해석 중에 요소망재구성이 용이하지 않기 때문에, 변형형상을 고려한 초기요소망의 밀도조절이 관건이다. 그림 11.14⒞에 적용 사례를 나타내었다.
(4) 파인블랭킹
그림 11.15는 파인블랭킹(fine blanking)을 위한 요소망을 나타내고 있다. 요소밀도의 부과를 위해서 적절한 영역을 선택해야 하며, 파인블랭킹 공정의 해석을 위해서는 급격한 요소밀도의 변화가 불가피하다. 전단이 발생하는 곳에서 매우 작은 요소를 사용해야 하기 때문이다. 그 이외의 영역에서 형상을 정확하게 표현하는데 충분한 요소를 사용하면 된다.
그림 11.15 판재의 파인블랭킹 목적의 요소망
(5) 코이닝 공정 해석 목적의 요소망
코이닝(coining) 공정 해석은 표면 요소의 품질을 극단적으로 높여야 하는 특수 문제이다. 이것은 필연적으로 과대한 요소 수를 낳게 되기 때문에 컴퓨터 성능 및 소프트웨어의 특수 기능의 성능을 좌우하는 극단적인 문제이다. 그림 11.16은 가상의 코이닝 문제에 적용한 사례이다.
그림 11.16 코이닝 공정의 해석 목적의 요소망
(6) 링롤링 적합 요소망 그림 11.17⒜에 링롤링에 적합한 요소망을 나타내었다. 링롤링 공정에서는 지속적으로 접촉면이 변한다. 이러한 경우에는 접촉면의 변화 이력에 적합한 요소망의 사용이 바람직하다. 그렇지 않으면, 잦은 요소망재구성이 요구되고 이것은 필연적으로 결과의 부정확성을 야기하게 된다.
(a) 링롤링 적합 요소망
(b) 냉각 채널 고려 요소망
(c) 준정상상태 해석
(7) 금형의 냉각 체널 고려 요소망
그림 11.17⒝는 금형의 냉각 등의 목적으로 뚫어진 냉각 체널을 고려한 해석을 위한 요소망을 나타낸다. 냉각 체널의 생성은 급격한 요소 수의 증가를 초래하기 때문에 해의 정확도를 유지하면서 계산시간의 효율을 동시에 고려해야 한다.
(8) 포트홀 압출 공정의 준정상상태 해석
포트홀 압출(port-hole extrusion) 공정의 해석에서 초기에 소재가 챔버(chamber)를 통과하는 과정은 해석은 공학적 유용성에 비하여 많은 노력이 요구된다. 이러한 문제는 초기에 정상상태에 이르렀다고 보고 그 때부터 일정 시간 동안 해석을 수행함으로써 소재의 거동특성을 파악하는 것이 바람직할 수가 있다. 그림 11.17⒞는 이러한 목적, 즉 압출공정의 준정상상태 해석을 위한 초기 요소망이다.
(9) 다물체 해석용 요소망
다물체 해석은 소성가공 공정의 해석에서 어려운 문제에 속한다. 이런 이유로 이와 관련된 해석 기술의 적용 사례가 많이 보고되어 있지 않다. 그림 11.18⒜와 그림 11.18⒝는 각각 2차원 및 3차원 다물체 해석을 위한 요소망을 나타내고 있다.
(a) 2차원
(b) 3차원
11.7 부피의 인위적 변화와 상태변수의 수치적 순화¶
11.7.1 부피의 인위적 변화¶
일반적으로 소성역학의 이론에서는 소성가공 중 부피의 변화는 없다고 가정한다. 말하자면, 유체역학에서와 같이 비압축성 조건이 일반적으로 따라 붙는다. 그러나 실제의 소성가공 시뮬레이션은 필연적으로 부피변화를 동반한다. 그 원인은 크게 세 가지로 나누어 볼 수 있다. 첫째는 비압축성 조건의 처리기법관련 이론에 연유한다. 대개 비압축성 조건은 라그랑지변수법과 벌칙기법으로 처리되는데[1.1], 이 중에서 벌칙기법은 근사적으로 비압축성 조건을 처리하기 때문에 벌칙상수에 따라서는 약간의 부피변화를 초래한다. 뿐만 아니라 매우 큰 값의 벌칙상수로 인하여 부분적인 소성유동의 불확실성을 초래한다. 가령, 2차원 축대칭 문제에서 중심축 주위에서 신뢰성이 떨어지는 결과를 낳을 수도 있다.
물론 라그랑지변수법은 미지수의 증가를 동반한다. 즉, 요소 수만큼의 미지수 증가가 발생한다. 따라서 동일 요소로 해석했을 때, 라그랑지변수법은 정확도 측면에서 유리하지만 계산시간 측면에서는 불리하다.
두 번째의 부피변화 요인은 속도장의 업데이팅(updating)과 관련된 것이다. 단조를 비롯한 소성가공 공정의 해석은 한 순간의 속도장을 구하고 이를 사용자가 입력한 시간증분만큼 전진시키는 과정의 반복이다. 그림 11.19에서 보는 바와 같이 내연적 방법(implicit method)에서는 시간증분의 중간 부분 주위의 한 순간에 대한 속도장을 구한 후 절점을 전진시킴으로써 변형 형상을 단계적으로 계산한다. 반면, 외연적 방법(explicit method)에서는 시간증분의 시작 시점에서의 속도장을 계산한다. 따라서 기본적으로 외연적 방법에서는 많은 변수들이 이미 결정되어 있어 계산시간 및 해의 획득 측면에서는 유리하지만, 외연적 방법에 비하여 정확도 및 부피변화 등의 측면에서는 크게 불리하다. 내연적 방법에서는 시간증분을 상대적으로 크게 할 수 있는 이점이 있지만, 이 값을 크게 할수록 부피변화가 커지게 된다는 사실을 기억할 필요가 있다. 이 두 번째 요인에 대한 대책으로 부피보상기능을 사용하지 않은 상태에서 압출공정 및 업셋팅공정을 해석한 후 부피변화율을 체크하는 과정의 반복을 통하여 부피변화에 관한 직간접적 경험을 축척하는 길이 최선이다.
간단한 업세팅 공정을 예로 들어 보자. 그림 11.20⒜와 그림 11.20⒝는 각각 시험에 사용한 업세팅 공정과 해석스텝 수와 부피변화의 상관관계를 나타낸다. 너무 적은 수의 해석스텝 수는 비교적 큰 부피변화를 초래한다. 이 부피변화는 해석 중에 수치적 기법으로 보상해 줄 수는 있지만, 결과의 부정확성을 근본적으로 방지할 수는 없다. 이 공정의 경우에는 50의 해석스텝 수 이상에서는 허용할 수 있는 오차 범위에 들어옴을 확인할 수 있다.
그림 11.19 내연적 방법
(a) 시험에 사용된 업세팅 공정
| 해석스텝 수 | 부피 변화율(%) |
|---|---|
| 19 | 1.18 |
| 24 | 0.84 |
| 31 | 0.74 |
| 52 | 0.28 |
| 68 | 0.28 |
| 86 | 0.02 |
(b) 해석스텝 수와 부피의 변화
세 번째의 부피변화 요인은 요소망재구성에 기인한 수치적인 것에 그 원인을 두고 있다. 유한요소법에서 소재의 형상은 기본적으로 외곽 또는 표면 상의 절점의 연결로 정의된다. 그러므로 요소망재구성은 필연적으로 부피변화를 동반한다. 특히 3차원의 경우에는 금형이 대체적으로 원통 형상이기 때문에 요소 수가 작아지면 부피도 작아지는 경향이 있다. 따라서 부피는 요소망재구성에 민감하게 영향을 받는다고 할 수 있다. 이 문제 역시, 그 해법은 사용자의 경험적 요소와 소프트웨어의 지능화 정도에 달려 있다.
종합적으로 말하자면, 부피변화는 예측결과의 신뢰도와 직결되는 것이며, 사용자가 항상 신경을 써야 할 사항이다. 대부분의 상용 소프트웨어에서 전술한 바와 같이 해석 중에 불가피하게 발생하는 부피변화의 인위적 보상기능을 제공하고 있는데, 이에 무비판적으로 의존하는 것은 적절한 해결책이 아님을 강조한다. 부피변화에 관한 식견과 대처 기술은 사용자가 지녀야 할 핵심적 지식과 기술 중의 하나이다.
11.7.2 상태변수의 수치적 순화¶
요소망재구성은 상태변수, 특히 변형률, 손상도 등의 이력변수의 사상(mapping, transformation)을 동반한다. 즉, 요소망재구성 이전의 정보로부터 요소망재구성 이후의 요소치 및 절점치를 계산해야 한다, 유한요소결과는 요소 경계에서 다소의 불연속을 허용한다. 가령, 선형요소를 사용할 경우에는 보간함수에 의하여 표현된 연속된 상태변수를 미분하면, 그 결과는 요소의 경계에서 불연속이 된다. 이러한 문제 때문에 사상의 과정에서 연속된 값으로 바꾸어 주어야 한다. 이 때, 유한요소 보간의 방법과 동일한 방법으로 상태변수를 연속된 보간함수와 절점치로 표현하고 이 연속된 상태변수와 요소치 사이의 오차를 최소화한다. 이 때 최소자승법이 사용될 수 있다.
최소자승법은 근본적으로 극대치를 줄이고 극소치를 올리는 경향이 있다. 이것을 수치적 순화(numerical smoothing)라고 한다.
(a) 요소망
(b) 직관적으로 얻은 답
(c) 최소자승법에 의한 답
그림 11.21⒜ 간단한 예제를 통하여 이해해 보자. 요소망의 두 개의 사각형요소로 이루어져 있으며, 그림 11.21⒝에서 보는 바와 같이 요소 1의 요소치는 1.0이고 요소 2의 요소치는 2.0이다. 이 문제에서 직관적으로 얻는 절점치는 절점 1, 2, 3에서 각각 0.5, 1.5 2.5이다. 이 절점치들을 연결하면, 그림 11.21⒝에서 보는 바와 같이 오차(빗금친 부분)를 상하 균등하게 하는 직선이 된다. 그런데 최소자승법으로 최적의 절점치를 구하면, 이렇게 되지 않는다[1.1]. 그림 11.21⒞에서 보는 실선이 얻어진다. 이 절점치를 바탕으로 다시 요소치를 구하면, 요소 1에서 1.125가 되고 요소 2에서는 1.875가 된다. 따라서 본래의 값을 잊어버리게 된다.
그림 11.22의 빈머리 볼스타드(ball-stud with cavity in head) 단조공정 중 빈머리 성형 공정은 요소망재구성에 따른 손상도의 순화 현상을 쉽게 이해하게 하면서 그 중요성을 체득시키기에 좋은 예제이다. 이 예제에 사용된 손상도 모델은 정규화된 Cockcroft-Latham 모델이며, 임의의 점에서 손상도는 항상 축적되기 때문에 시간의 증가에 따라 손상도는 항상 증가해야 한다. 그림 11.22의 빈머리 성형 공정은 많은 수의 요소망재구성을 요한다. 이것은 빈머리 부의 형상적 특성 때문이다. 반면, 하부에서는 성형이 거의 일어나지 않는다. 그러므로 성형 초기에 그 이전 단계에서 생성된 손상도 0.43은 최소한 유지되어야 한다. 그러나 이것이 0.37로 줄어들었다. 이 현상이 바로 상태변수의 수치적 순화에 기인하는 것이다. 수치적 순화를 방지하기 위해서는 형상 오차를 손상시키지 않는 범위 내에서 요소망재구성 수를 줄이는 것이 바람직하고, 경우에 따라서는 국부요소망재구성을 활용할 필요가 있다.
무엇보다 중요한 것이 이러한 현상을 이해하고, 결과를 평가할 때, 사용한 수치적 기법을 고려한 결과의 올바른 판단 능력이다.
그림 11.22 빈머리 볼스타드의 빈머리 성형공정의 해석 중 발생한 손상도 순화의 사례
11.8 2차원과 3차원 해석¶
11.8.1 개론¶
2차원 문제는 크게 축대칭 문제와 평면변형 문제로 구분된다. 물론 2차원 문제를 3차원으로 해석할 수 있다. 실제 이런 시도를 하는 기술자가 많다. 그러나 반드시 다음의 점을 유의해야 한다. 2차원 단조 공정을 사각형요소를 사용하여 해석할 경우에는 수치적 문제가 개입될 여지가 거의 없으므로 3차원에 비하여 보다 안정적인 답을 경제적으로 얻을 수 있다. 그러나 3차원 접근 방법은 2차원에 비하여 다소 신뢰성이 떨어지는 답을 얻을 수밖에 없다. 다시 말해, 동일한 문제를 2차원과 3차원으로 풀었을 때 해가 약간 다르다면, 2차원의 해가 보다 더 정확할 수밖에 없다. 특히 이 책에서 사용한 사각형요소와 사면체요소는 이론적 배경이 다르기 때문에 결과의 차이가 존재할 수밖에 없다는 점을 강조한다. 만약 삼각형요소와 사면체요소를 사용한 소프트웨어라면 두 결과의 차이는 보다 줄어들겠지만, 근본적으로 그 차이를 무시할 수 있을 정도 이하로 줄이는 것은 불가능하다고 사료된다. 그리고 삼각형요소보다 사각형요소의 해가 상대적으로 안정적이고 동일한 조건 하에서는 더 정확할 수밖에 없다는 점을 강조해 둔다.
(a) 냉간전후방압출
(b) 냉간후방압출
(c) 자동다단냉간단조
그림 11.23과 11.24는 각각 축대칭과 평면변형 문제에 대한 2차원 해석결과(사각형요소)와 3차원 해석결과(사면체요소)를 비교하고 있으며, 두 결과가 서로 유사함을 보여주고 있다. 그림 11.23⒜에서 하중을 비교하고 있는데, 맨 마지막을 제외한 모든 구간에서 2차원과 3차원으로 예측한 성형하중이 유사함을 알 수 있다. 맨 마지막 순간의 성형하중은 부피변화 등에 크게 영향을 받기 때문에 비교 자체가 큰 의미가 없다.
그림 11.24 평면변형 문제의 2차원 및 3차원 해석결과의 비교
그림 11.25와 그림 11.26은 축대칭 문제에 대한 2차원 및 3차원 해석결과를 소성유동선도를 이용하여 보다 상세하게 비교분석하고 있다. 그림에서 보는 바와 같이 전반적으로 유사한 변형 패턴을 보이고 있다. 그러나 상세하게 조사해 보면, 3차원의 해석결과는 중심부에서 2차원에 비하여 마찰이 작게 반영되었음을 확인할 수 있다. 중심부에서의 소성유동선도의 기울기가 마찰의 정확도와 함수 관계에 있기 때문이다.
물론 3차원 해석 시에 요소 수를 줄이면, 이러한 현상은 더 심해진다. 앞에서도 강조한 바와 같이 이 점은 다소 불가피하다. 3차원에서는 요소 수에 대한 제약으로 마찰을 엄격하게 적용하면 과구속 문제가 발생할 수가 있기 때문이다. 다시 말하면, 이 문제에서 중심부에서 높은 압력이 작용하며, 마찰계수 0.3과 높은 압력은 중심부의 표면절점의 접착조건을 만들지만 이를 만족시키면 요소의 수가 많지 않은 중심부의 내부 절점의 소성유동을 과구속한다. 이는 수렴 해의 획득을 어렵게 만드는 요인이 될 수 있다.
그림 11.26에서도 유사한 결과를 나타내고 있다. 즉, 전체적으로는 흡사한 결과를 보이고 있지만, 중심부에서의 소성유동선도는 다소의 차이를 보이고 있다. 그러나 그 차이는 대개 무시 가능한 수준이다. 실제 이 차이는 제5장에서 설명한 쿨롱마찰법칙과 일정전단마찰법칙의 차이에 비하면 크지 않다.
11.8.2 좌굴에 의한 축대칭 문제의 3차원 변형¶
그림 11.27의 문제는 앞 절의 예제와 기하학적으로 축대칭이라는 점에서는 동일하지만 역학적 현상 측면에서는 크게 다르다. 3차원 해석에서는 내경에 주름이 예측되었다. 이 문제는 기하학적으로는 축대칭이지만, 좌굴 현상으로 인하여 역학적으로는 비대칭인 문제에 속하는 특징을 지닌 문제이다. 즉, 축대칭 공정으로 간주하여 실시한 해석은 실제의 상황을 정확하게 반영할 수 없는 경우이다.
이와 유사한 것으로 그림 11.28에서 보는 바와 같이 긴 소재의 압축성형 시에 발생하는 좌굴 현상은 2차원 해석으로 그 예측이 불가능하다. 좌굴 현상을 예측하기 위해서는 대칭면이 하나이거나 아니면 대칭면이 없도록 해석영역을 잡아야 한다. 그리고 절단면이나 소재의 성질 측면에서 어느 정도의 비축대칭성을 지니고 있으 므로 이를 반영하기 위하여 그림 11.28⒝에서 보는 바와 같이 소재의 초기 형상에 비대칭성을 부여하는 것이 바람직할 수 있다.
그림 11.27 기하학적으로 2차원이지만 3차원적 변형이 발생하는 예제
11.8.3 3차원 문제의 2차원 근사해석¶
비록 그 공정이 3차원이라고 하더라도 2차원 가정으로 근사해를 구하는 것이 공학적으로 가치가 있는 경우가 허다하다. 그 실례로, 그림 11.29에서 허브 단조공정 개발 사례를 나타내고 있다. 이 그림에서 보는 바와 같이 허브의 형상은 3차원이지만, 2차원의 가정 하에서 시뮬레이션에만 의존하여 실패없이 공정 개발에 성공한 사례이다.
그림 11.29는 시뮬레이션 기술에 의존하여 10여 차례의 설계 보완 끝에 한국에서 시험생산한 첫 번째의 허브베어링 열간밀폐단조품이다[11.6]. 그림 11.29⒜에서 실험결과와 해석결과가 다른 이유는 실제의 제품이 뚜렷한 3차원 형상을 가지고 있기 때문이다. 이런 경우에는 3차원 단면을 대표할 수 있는 2차원 형상을 가정하는 것이 중요하다.
(a) 해석과 실험
(b) (좌)구 제품, (우)한국 최초로 밀폐단조로 제작된 허브베어링 단조품
또 다른 예를 들어보자. 그림 11.30(a)의 부품은, 엄밀히 말하면, 3차원 문제에 속하지만, 축대칭 형상에 가깝다. 따라서 이 제품의 단조 공정을 축대칭 공정으로 가정하여 해석해도 실제의 소성유동 현상을 충분히 반영할 수 있는 문제의 범주에 속한다. 이 공정의 해석에 사용된 소재의 유동응력은 \(\bar{\sigma} = 324.0(1.0 + \bar{\varepsilon} / 0.052)^{0.295}\) MPa이고, 마찰계수는 0.05이다.
그림 11.30⒝는 실험결과와 해석결과를 비교하고 있다. 실험결과의 소성유동은 목적으로 했던 그림 11.30⒜의 희망 제품 형상과는 큰 차이를 보이고 있다. 그러나 실험결과와 예측결과는 서로 잘 일치하고 있다. 그림 11.31은 금속유동의 변화과정과 결함의 발생구조를 보여주고 있다. 실제의 공정에서 초기형상(예비형상)은 봉재를 절삭하여 만든 것이므로 초기의 소성유동선도를 그림 11.31의 첫 번째 그림에서 보는 바와 같이 생성시켰다. 소성유동선도 및 외곽형상의 변화과정의 가시화로부터 결함이 발생하는 과정을 상세히 확인할 수 있다. 이 결과로부터 부분적 금형 수정을 통한 문제의 해결이 쉽지 않을 것임을 추측할 수 있으며, 설계 방법의 근본적 수정이 필요함을 인식할 수 있다.
한편 그림 11.32에서 보는 바와 같이 3차원 해석결과와 2차원 해석결과의 비교에서 보는 바와 같이 두 결과는 결함의 발생 원인 규명 차원에서는 동일한 의미를 갖고 있음을 확인할 수 있다.
그림 11.31 결함의 성장과정의 가시화
그림 11.33은 엄밀하게 말하면 3차원 냉간단조 공정 중에서 발생한 파이핑 결함의 원인을 규명하기 위한 목적으로 실시된 시뮬레이션의 예측결과와 실험결과를 비교하고 있다. 그림 11.33에서 표시된 바와 같이 소재의 중간 부위의 단면의 외곽 형상은 육각형이다. 따라서 엄밀히 말하면 3차원 공정에 속한다. 이 공정설계의 근본적인 문제점을 2차원 해석으로도 충분히 확인할 수 있다. 3차원 해석은 시간과 비용이 상대적으로 많이 사용되는 3차원 CAD 작업을 전제로 하기 때문에 한 번의 설계 개선 작업과 해석에 소요되는 시간적 비용이 상대적으로 크다. 따라서 유능하고 합리적인 기술자가 되려면, 2차원 해석을 중시하는 습관을 기를 필요가 있다. 커넥팅로드와 같은 기다란 단조품의 제조 공정을 평면변형 조건의 가정 하에서 2차원 단면에 관해서 해석함으로써 유용한 정보를 경제적으로 획득할 수 있다.
금형의 파괴 원인을 규명하기 위한 금형의 구조해석에서 중요한 것 중의 하나가 응력집중이다. 응력집중은 금형의 오목한 모서리에서 발생한다. 오목한 모서리의 반경이 작을수록 응력집중은 크게 나타난다. 문제는 응력집중의 해석을 위해서는 응력집중이 발생하는 부위를 비교적 조밀하게 유한요소로 분할해야 한다는 것이다. 금형의 형상이 비교적 복잡할 때, 오목한 부분의 응력집중해석에 적합하도록 유한요소분할을 실시한다면 유한요소해를 얻는데 많은 비용과 노력이 소요된다. 따라서 2차원 접근 방법의 접목이 가능하다면, 이를 적극 활용할 필요가 있다. 길이가 비교적 긴 단조품을 측면방향 단조로 생산할 때, 그 공정을 평면변형의 가정 하에서 2차원적으로 해석하더라도 유용한 정보의 획득이 가능하다. 컨넥팅로드 등이 대표적인 예이다.
여기서 프론트로어컨트롤암 단조 공정을 대상으로 2차원 평면변형 해석과 3차원 해석의 결과를 비교하고 2차원 금형구조해석의 현실적 타당성을 강조한다.
(a) 초기소재
(b) 상형 형상
(c) 하형 형상
그림 11.35는 유한요소해석결과이다. 그림 11.35⒜는 블록킹 공정의 최종 예측 형상이며, 그림 11.33⒝는 시뮬레이션 중 속도분포를 나타내고 있다. 그리고 그림 11.36은 종료 시점에서 하형의 금형 구조해석 결과이다. 그림에서 보는 바와 같이 응력 분포는 위치에 따라 다소의 진동이 발생하고 있으며, 모서리 부위의 응력집중을 예측하기에는 다소 부족한 면이 있다. 이는 소성가공 시뮬레이션의 결과와 금형의 이산화에 기인하는 것으로 불가피한 면이 있다. 이런 이유로 현장의 문제의 해결 목적으로 3차원 금형 해석 기술에 지나치게 의존하는 것은 바람직하지 않을 수도 있다.
그림 11.35 3차원 금형구조해석결과
길이가 긴 열간단조 제품의 단조 중에 금형에 작용하는 응력을 근사적으로 해석하기 위하여 그림 11.35의 ABC 선에 의하여 정의된 면을 대상으로 평면변형의 가정 하에 금형구조해석을 시도하였다. 그림 11.35⒝에서 보는 바와 같이 이 면에서는 면에 수직한 속도 성분이 상대적으로 작다. 그리고 열간단조이므로 마찰이 비교적 크며, 길이 방향의 소재 유동이 작기 때문에 평면변형의 가정이 적합하다고 사료된다.
그림 11.37⒜는 그림 11.35⒝의 ABC 선를 이용하여 그림 11.35⒜의 블로킹 공정의 최종 형상을 절단한 단면이다. 이 단면의 면적을 계산하여 2차원 평면변형 문제를 만들어 해석한 결과를 그림 11.37⒝에 나타내었다. 이 2차원 해석결과는 소재의 유동 형상이 3차원 결과와 유사하게 나오도록 하기 위하여 초기의 소재 위치를 조절하여 얻은 결과이다. 그림 11.38⒜는 금속유동선도와 면압정보를 나타내고 있고, 그림 11.38⒝는 소재의 온도분포를 나타내고 있다.
(a) 3차원 해석결과에서 단면 ABC의 형상
(b) 단면 ABC를 위한 2차원 해석결과
(a) 금속유동선과 응력벡터
(b) 소재의 온도분포
금형은 기본적으로 모서리를 많이 가지고 있으므로 구조해석 시에 응력집중에 관한 세심한 주의가 필요하다[11.9]. 즉, 구조해석 목적의 유한요소 해석모델에서 오목한 모서리의 처리는 중요하다. 그러므로 평면응력 조건 하에서 응력집중을 충분히 반영하기 위하여 모든 오목한 모서리를 8개 이상의 절점으로 이산화시켰다.
그림 11.39는 기계적 하중을 이용하여 얻은 금형의 구조해석결과로써 주응력의 분포와 유효응력의 분포를 나타내고 있다. 그림 11.39⒜에서 보는 바와 같이 주응력의 분포는 오목한 모서리 부위에서 크게 나타나고 있으며, 유효응력은 그림 11.39⒝에서 보는 바와 같이 600MPa~800MPa의 범위에 있고 평균적으로 700MPa 내외이다. 이 결과는 3차원 해석결과와 그 크기 면에서 유사하다. 그러나 3차원 해석결과는 2차원 해석결과에 비하여 정교함이 떨어진다. 만약, 2차원 해석결과가 3차원 해석결과와 유사하다면 3차원 해석결과보다 훨씬 유용하다.
(a) 주응력
(b) 유효응력
11.8.4 2차원과 3차원 연결해석¶
앞에서 강조한 바와 같이 가능하다면 2차원 해석에 의존하는 것이 공학적으로 바람직하다. 그런데 많은 공정이 전반부는 축대칭이지만, 소수의 마지막 단에서 3차원 공정인 경우가 허다하다. 이 경우에는 전반부의 축대칭 공정에 대해서는 2차원 해석을 실시하고 그 결과를 바로 3차원 해석에 연결하는 기법이 유용하다[11.10].
자동다단단조 공정은 소성가공 시뮬레이션 기술이 절실한 분야이며 공정 간의 높은 연계성으로 인하여 시뮬레이션에 소요되는 노력이 휠씬 많다. 자동다단냉간단조 공정은 정교하게 작업되고 자동화가 기본이기 때문에 공정설계가 상대적으로 정교하다. 자동다단 단조품은 볼트 등과 같은 긴 제품이 많으며 대개 4단 이상의 자동다단단조기에서 고속으로 생산되기 때문에 정교한 해석이 필요하다. 그리고 축대칭 제품이 주류를 이루고 있으며, 볼트와 같이 전반부의 공정은 축대칭이며, 소수의 최종 단에서 3차원 형상을 성형하는 경우가 대부분이다. 따라서 축대칭 공정을 수반하는 비축대칭류의 자동다단단조에서 2차원 해석과 3차원 해석의 연결에 의한 정교한 소성가공 시뮬레이션 기술이 실용적 관점에서 중요하다.
(a) 2차원 해석결과
(b) 3차원 해석결과
그림 11.40은 소성가공 시뮬레이션 관점에서 비교적 난공정에 속하는 피어싱공정(piercing process)과 소재의 접힘(folding)이 발생하는 3차원 공정이 포함된 자동5단냉간단조 공정을 2차원과 3차원 연결해석 기법으로 해석한 결과이다. 제1단에서 제4단까지는 축대칭이고, 제4단에서 피어싱이 이루어진다. 제5단은 비축대칭이며, 성형 중 덧살 부에서 소재간 겹침이 발생하는 문제이다.
그림 11.40(a)는 2차원으로 제1-4단을 해석한 결과를 3차원적으로 가시화한 것이다. 2차원 해석결과를 3차원 소성가공 시뮬레이터의 입력으로 취하여 연속적으로 해석을 실시함으로써 2차원 및 3차원 연결을 통한 정교한 해석의 실행이 가능하다. 제5단의 3차원 해석결과를 그림 11.40(b)에 나타내었다. 이 기능을 활용하면, 정교한 해석과 경제적 해석이 동시에 가능하다.
해석에 사용된 유동응력은 \(\bar{\sigma} = 617.0 \bar{\varepsilon}^{0.25}\) MPa이고, 마찰상수는 0.1이다. 재료가 비속도의존적이라는 가정 하에 상형의 속도를 1.0mm/s로 가정하였다.
실질적으로 2차원/3차원 연결해석이 가장 효과적인 공정으로 나사 제조공정을 들 수 있다. 그림 11.41의 나사제조 공정에서 전조공정을 제외한 단조 공정을 대상으로 설명한다. 그림 11.41은 12각플랜지볼트의 제조 공정도를 나타내고 있다. 제4단까지는 자동다단단조 공정에 의하여 생산이 되며, 마지막 단에서 나사전조가 실시된다. 제1단과 제2단은 각각 압출공정과 업셋팅공정으로써 소재의 대략적인 형상을 성형한다. 제3단과 제4단은 각각 헤딩공정과 후방압출공정이며, 이 두 공정은 나사의 머리를 성형하는 역할을 한다.
재료는 ESW105이고, 제4단까지의 단조 공정에서의 마찰조건으로 쿨롱마찰법칙과 마찰계수 0.05를 사용하였다. 3단까지는 축대칭이므로 2차원 해석을 수행하였고, 4단에서 나사의 머리 부분이 성형되므로 3차원 해석을 수행하였다. 예측된 소재의 변형 형상과 각 공정의 종료 순간의 유효변형률 분포를 그림 11.42에 나타내었다.
그림 11.41 12각플랜지볼트 제조공정
그림 11.42 예측결과 - 유효변형률
이 공정은 2차원/3차원 연결해석의 중요성을 강조하기에 적합한 공정이다. 이 공정은 비교적 스트로크가 길기 때문에 단순한 형상이지만 계산시간이 많이 소요되고 3차원 해석 시에는 수치적 문제가 크게 영향을 끼칠 가능성이 높다. 3차원 해석에서 요소망생성 시에 원주방향의 요소밀도에 따라 부피가 인위적으로 바뀔 수밖에 없기 때문이다. 원의 면적을 표현함에 있어 내접하는 다각형을 고려해 보면 이 문제를 쉽게 이해할 수 있다. 물론 이 문제가 여기에서만 나타나는 것은 아니다. 원통 금형을 사용하는 경우에는 이 문제가 항상 존재할 수밖에 없다. 요소망 관련 옵션의 사용 시에 유의해야 할 사항이다.
11.9 해석결과의 평가¶
11.9.1 해석결과의 신뢰성¶
성가공 공정해석에서는 그 의미를 부여하기 이전에 결과의 타당성에 관한 심도있는 고찰이 요구된다. 가장 우선적으로 해석 대상 공정의 해석모델에 관한 이해가 선행되어야 한다. 해석모델에서는 역학적 현상에 기반하고 있지 않는 요소를 경계조건 또는 자유도의 인위적 구속 등을 통하여 무시한다. 가령, 링롤링 공정의 초반에 발생하는 불안정성은 해석모델에 따라서는 해석 대상이 되지 않을 수가 있다. 해석모델은 지속적으로 진화하고 있지만, 이론적 모델로서 실제의 문제와 일정한 거리를 유지하고 있다. 이 간격을 줄이는 것은 개발자의 주 관심사이고 사용자의 의무이다.
그리고 해의 수렴성이 문제가 될 수도 있고, 요소망재구성 과정에서 소재의 일부가 유실될 수도 있다. 특히 단조와 같이 요소망재구성이 잦은 문제는 인위적 형상변화로 인하여 부피변화가 발생할 수가 있다. 해석스텝 크기가 클 경우에도 부피변화가 다소 발생한다. 재료와 금형 간의 접촉조건을 취급하는 과정에서도 기법에 따라서는 부피변화를 야기할 수가 있다. 뿐만 아니라 사용하는 비압축성 조건 처리 기법과 해석결과의 수렴 특성 등도 부피변화의 요인이다. 다소 조대한 요소망을 사용하는 것도 부피변화 문제를 악화시키는 요인이 될 수가 있다. 물론, 강소성 유한요소해석에서는 벌칙기법에 비하여 Lagrange 변수법이 해석의 정확도뿐만 아니라 부피변화 측면에서도 유리하다. 다만, 해석 시간 측면에서 벌칙기법이 유리한 면이 있다.
해석 중의 인위적인 부피변화는 해석 결과의 신뢰성과 직결된다. 따라서 해석결과의 활용에 앞서 부피변화의 타당성을 조사해야 한다. 이론에서는 부피변화가 없다고 가정하는 경우가 대부분이다. 따라서 이론 해에서 부피변화가 작을수록 좋다고 할 수 있다. 그러나 전술한 바와 같은 요인에 따라 부피변화는 불가피한 측면이 있다.
그런데 이론과는 달리, 실제 재료가 압축변형을 받으면, 다소(1-2%내외)의 부피변화가 발생하는 것으로 알려져 있다. 실제 소성가공에서 소재의 압축 및 인장 변형뿐만 아니라 재료의 냉각 또는 가열에 의해서 부피가 변할 수밖에 없다. 이런 점을 감안할 때, 소성가공 공정의 해석에서 2% 내외의 부피변화는 인정될 수도 있다.
만약, 해석 중 부피변화 보상 기능이 작동되었다면, 부피변화가 없다는 것이 신뢰성을 담보하는 것은 아니다. 다만, 부피변화가 심한 문제에서 이 기능의 사용은 최악을 피하는 의미가 있다. 여기서 강조하고자 하는 점은 해석결과에서 부피변화가 담고 있는 의미를 이해하는 데는 많은 경험과 이론적 뒷받침이 필요하다는 것이다.
상용 소프트웨어에서는 대개 전술한 부피변화의 보상기법이 제공되고 있다. 경우에 따라서는 그러한 기능의 활용이 필수적일 수가 있다. 예를들면, 요소망재구성이 빈번하게 발생하는 복잡한 단조공정의 해석 문제이거나 링롤링과 같이 재료의 운동 및 변형에 방향성이 존재하는 경우가 이러한 범주의 문제에 속한다. 그러나 이러한 인위적 부피보상 기능에 의존하지 않고 허용 가능한 부피변화를 만족시키는 해석 조건을 찾는 것이 무엇보다 중요하다.
11.9.2 성형하중¶
성형하중에 직접적인 영향을 미치는 요소는 유동응력이다. 상온에서의 성형하중의 정교한 예측은 비교적 용이하다. 왜냐하면, 저마찰로 인하여 유동응력이 성형하중에 미치는 영향이 절대적이며, 유효변형률이 유동응력에 미치는 영향이 절대적이기 때문이다.
그러나 열간 소성가공은 이 점에서 냉간 소성가공과 크게 다르다. 유동응력뿐만 아니라 마찰도 주요 변수이기 때문이다. 고온에서 유동응력에 미치는 요소로는 온도, 변형률속도, 변형률 등이 있다. 이러한 요소가 미치는 영향의 계량화 문제는 시험기술과 유동응력 모델의 발전과 함께 꾸준히 개선시켜 나갈 수가 있다. 반면, 마찰상태를 공학적 관점에서 적절한 수준까지 규명하는 것은 쉽지 않다.
조압연과 같이 무윤활 상태에서 고온 소재와 금형이 접촉할 때, 마찰계수는 0.3 이상인 것으로 알려져 있다[11.11]. 무윤활 열간단조의 경우, 금형의 극심한 마모로 생산성이 크게 떨어진다. 따라서 윤활은 마찰 및 금형의 마모에 큰 영향을 미친다. 유동응력에 비하여 윤활 상태의 마찰상태를 규명하는 것은 용이하지 않다. 해석의 관점에서 볼 때, 제5.7.1절에서 밝힌 바와 같이 마찰법칙에 따라서 동등한 조건의 계수 또는 상수가 적용되었음에도 불구하고 성형하중이 약 30% 정도의 차이가 날 수가 있다. 열간단조의 단류선의 예측결과도 마찰조건 및 마찰모델에 민감하게 영향을 받는다.
그림 11.43은 마찰모델 및 마찰계수 또는 마찰상수가 베어링부품의 열간단조 공정에서 성형하중과 단류선에 미치는 영향을 분석하기 위한 열간단조 공정이다. 재료는 SCr420H이고, 2500톤 슬라이드-크랭크 프레스를 사용하였다.
쿨롱마찰법칙, 일정전단마찰법칙, 하이브리드마찰법칙을 사용하였고, 표 11-1에서 보는 바와 같이 다양한 마찰 조건에 대한 최대 성형하중의 예측치를 나타내었다. 이 표에서 보는 바와 같이, 마찰조건에 따라 성형하중이 크게 변함을 알 수 있다. 이러한 차이는 공정의 기하학적 차이에 따라서 더 심화될 수도 있다.
한편, 그림 11.44는 마찰모델 및 마찰조건에 따른 단류선 예측 결과를 비교하고 있다. 예측된 단류선은 서로 크게 다르다. 이 결과로부터 마찰모델과 마찰조건을 결정함에 있어 성형하중과 단류선이 동시에 고려되어야 함을 알 수 있다.
[표 11-1] 마찰모델 및 마찰조건과 최대 성형하중(쿨롱마찰)
| Case | 마찰계수 | 최대성형하중 |
|---|---|---|
| 1.1 | 0.1 | 1885 |
| 1.2 | 0.2 | 2365 |
| 1.3 | 0.3 | 2680 |
[표 11-2] 마찰모델 및 마찰조건과 최대 성형하중(일정전단마찰)
| Case | 마찰상수 | 최대 성형하중 |
|---|---|---|
| 2.1 | 0.2 | 1630 |
| 2.2 | 0.4 | 1890 |
| 2.3 | 0.6 | 2190 |
[표 11-3] 마찰모델 및 마찰조건과 최대 성형하중(하이브리드마찰)
| Case | 마찰계수/한계마찰상수 | 최대성형하중 |
|---|---|---|
| 3.1 | 0.1 / 0.2 | 1555 |
| 3.2 | 0.1 / 0.4 | 1795 |
| 3.3 | 0.1 / 0.6 | 1825 |
| 3.4 | 0.2 / 0.4 | 1840 |
| 3.5 | 0.2 / 0.6 | 2170 |
| 3.6 | 0.3 / 0.6 | 2270 |
11.9.3 재료와 금형의 역학적 모델링의 영향 분석¶
이 절에서는 고정 스크롤의 단조공정 해석을 통하여 재료 모델과 금형 모델이 유한요소 예측결과에 미치는 영향을 분석하기 위하여 실시된 비교결과를 소개한다.
그림 11.45은 자동차의 공조 압축기 유닛에 사용되는 알루미늄 고정 스크롤의 열간 단조 중에 발생하는 금형의 파단 예를 도시한다. 붉은색 박스로 표시된 영역 주위의 랩의 뿌리 부분에서 파단이 조기에 발생하였다. 스크롤 모양은 금형 변형에 대한 반응의 효과를 증폭시킬 수 있는 형상에 의해 특징지어지며, 이론적 재료 모델이 유한요소 예측결과에 미치는 영향을 정량적으로 평가할 수 있다. 그림 11.46는 고정스크롤의 공정도를 나타내고 있다. 재료의 유동응력 및 열적 정보는 제7장 및 제12장에서 요약되어 있다. 금형 속도는 일정한 200mm/s로 가정되었고, 쿨롱 마찰 계수는 0.2이다. 금형 재료의 영율, 포아송비, 열팽창계수는 각각 210MPa, 0.28, 0.000012/°C이고, 재료 및 금형의 초기 온도는 각각 450°C 및 180°C이다.
그림 11.45 고정 스크롤의 단조 중 발생한 금형 파단
그림 11.46 고정 스크롤 단조공정의 개념도
단조 재료의 탄성변형 효과는 초기 고온 450°C 로 인해 무시할 수 있다는 판단하에 점성 또는 열점성인 것으로 가정하고 금형 재료는 강체 또는 탄성(Elastic)인 것으로 가정한다. 표 11-4에 요약된 네 가지 사례는 금형 파단의 원인을 밝히기 위해서뿐만 아니라 유한요소 예측에 대한 단조 재료 모델의 영향에 대한 통찰력을 제공하기 위한 것이다. 강체 금형 모델인 Case 1 및 Case 3의 경우의 금형 응력은 재료의 유동 분석과는 별도로 계산되어 유동 시뮬레이션 후, 사후 처리 기능을 사용하여 계산되었다. Case 2와 Case 4에서는 금형의 탄성변형의 영향을 고려하였으며, 이것을 완전해석(complete analysis)이라고 한다.
[표 11-4] 해석의 경우의 수
| 단조 재료 | 금형 | |
|---|---|---|
| Case 1 | 점소성 | 강체 |
| Case 2 | 점소성 | 탄성체 |
| Case 3 | 열점소성 | 강체 |
| Case 4 | 열점소성 | 탄성체 |
그림 11.47(a)와 그림 11.47(b)는 해석에 사용된 재료와 금형에 대한 유한요소망이다. 재료와 금형의 사면체 요소의 수는 각각 약 145,000과 125,000 개다.
그림 11.47 유한요소망과 단면(C1면, C2면)의 정의
그림 11.48(a)와 그림 11.48(b)는 각각 Case 4에 대한 단류선과 온도의 변화를 나타낸 것이다. 단류선은 전반적으로 건전하며, 재료와 금형의 온도는 각각 317°C에서 470°C 사이와 180°C에서 253°C 사이에 머무르고 있다. 네 가지 경우, 전반적인 단류선의 예측결과는 유사하며, 마지막에 이르러 약간씩 차이가 발생하였다.
그림 11.49는 Case 4에서 경과시간에 따른 금형 파손 부위 주변의 성형하중과 최대 \(\sigma_{yy}\) 의 변화를 보여준다. 경과시간 0.068초에서 금형의 파단 영역 주변에서 응력 성분 \(\sigma_{yy}\) 가 최대값인 1160MPa에 도달한다. 그 이후 그림 11.49와 이 응력성분은 급격하게 줄어들었다. 그림 11.50에서 보는 바와 같이 금형의 파단 영역의 반대쪽 면이 압축 상태에 있었기 때문에 응력 분포는 캔틸레버 보의 현상과 유사하다. 압축 강도와 비하여 금형 재료의 상대적으로 낮은 인장강도를 고려할 때, Case 4에서 최대 인장응력이 1160MPa 인 금형 재료의 취성 특성이 조기의 금형 파단의 원인이라는 결론을 내릴 수 있다. 여기서 유의할 점은 금형에 작용하는 최대 인장응력 발생 시점과 최대하중 도달 시점이 다르다는 것이다. 이것은 다른 경우에도 비슷한 양상으로 나타났다(그림 11.51과 그림 11.55 참조).
그림 11.48 Case 4의 예측결과
그림 11.49 성형하중과 파단 지점에서의 응력성분 σyy 의 변화 (Case 4)
그림 11.50 파단지점에서 응력성분 σyy (MPa)의 분포 (Case 4)
앞에서 성형하중과 금형 파괴를 일으키는 최대 σyy 사이의 관계가 미약하기 때문에 이 시험 공정이 특이하다는 점을 강조했다. 금형 파괴는 최대 성형하중이 발생하는 최종 시점이 아니라 성형하중이 최대 성형하중의 약 70%에 도달하는 지점에서 발생하는 것으로 나타났다. 즉, 성형하중 자체의 크기는 금형 파손에 부차적인 영향을 미치며, 이는 단조공정에서 매우 예외적인 사례이다. 따라서 이것은 유한요소해석의 예측에 대한 재료 및 금형 모델의 영향을 평가할 수 있는 기회를 제공한다. 그림 11.51은 4 가지 경우에 대한 시간경과에 따른 성형하중의 변화를 비교하고 있으며, 전반적으로 큰 차이를 보여주지 않고 있다. 그러나 금형의 탄성변형이나 열전달의 영향을 고려할 때, 그림 11.51에서 볼 수 있듯이 시간의 흐름에 따라 하중의 변화가 시작되는 시간은 0.0625초 (Case 4)에서 0.065초 (Case 1) 사이에 존재한다. 비등온해석으로 얻은 성형하중은 초기 온도가 동일할 때 재료의 온도 강하로 인해 등온 해석으로 얻는 성형하중보다 크다는 것이 당연하다. 그림 11.51로부터, 탄성 변형을 고려할 때 얻어지는 성형하중은 강소성 해석 때 얻어지는 성형하중보다 커짐을 알 수 있다. 그림 11.52는 Case 4에 의해 예측된 바와 같이 상대적으로 더 큰 성형하중은 랩 굽힘과 상대적으로 작은 외곽 금형의 변형의 결과로서 출구 영역의 감소, 즉 압출비의 상승으로 인해 발생한다는 것을 보여준다. 이러한 현상은 Case 2에서도 예측되었다.
그림 11.51 시간에 따른 성형하중의 변화
그림 11.52 금형의 변형 (실수는 측방향 변위를 타나냄) (Case 4)
그림 11.53 0.0625초 시점에서 단류선과 재료-금형의 접촉상태 (Case 4)
그림 11.53에서 Case 4에 의해 예측된 0.0625초의 성형하중의 기울기 변화는 재료가 스크롤 사이의 ‘T’로 표시된 영역의 바닥에 닿으면서 발생한다는 것을 알 수 있다. 금형 탄성변형을 고려한 경우보다 강체 해석에서 σyy값의 기울기 변화가 급격하게 발생한다.
그림 11.48(b)에서 볼 수 있듯이, 재료가 중심에서 멀어지면 온도가 낮아지므로 변형저항을 증가시키는 온도 분포가 더 일찍 기울기 변화를 야기한다는 것을 의미한다. 다소 빠른 접촉 시기의 예측으로 인하여 온도 및 금형 탄성 변형 효과는 성형하중의 부드러운 기울기 전이를 예측한다고 볼 수 있다. 그림 11.54에서 보는 바와 같이, 경과시간 0.06초에서 Case 4가 예측한 가장 왼쪽의 재료 폭은 Case 1에 의해 예측된 것보다 작다는 것을 알 수 있다. 이것은 Case 4에서 재료가 금형 바닥에 먼저 도달하지만, 금형의 역구배 변형으로 인하여 재료와 금형의 완전 접촉은 발생하지 않는다. 반면 강체금형을 사용한 경우에는 기하학적인 완전 접촉은 발생하지만 역학적 접촉은 완벽하게 이루어지지 않는다. 이러한 현상의 이해는 해석모델, 즉 재료 모델과 금형 모델이 해석결과에 미치는 영향, 즉 성형하중과 금형응력의 이력 차이와 미세한 현상을 판단하는데 매우 중요하다. 가령, 강체 금형을 사용했을 때의 역학적 비접촉은 그림 11.45에서 확인할 수 있는 스크롤 단조 금형에서 발생하는 측면 마모를 예측할 수 없게 만든다.
그림 11.54에서 Case 4는 금형탄성변형으로 인하여 입구가 좁아져 아래 부분의 폭이 넓어지며, 그 결과, 압출된 재료의 폭이 좁으며 빈 공간은 점진적으로 채워진다. 이것은 미세한 문제를 초래하며, 해석 기술과 공정 기술을 이해하는데 중요한 정보를 제공한다.
그림 11.54 좌측 공간에서 발생하는 소성유동 비교
그림 11.55는 시간경과에 따른 금형 파손 부위의 응력성분 \(\sigma_{yy}\)의 변화를 비교한다. 약 0.055초까지 구조적으로 취약한 영역은 기계적으로 안정된 상태를 유지하지만, 약 0.060초 경과 이후부터 상황은 크게 전환된다. 그림 11.55(a)에서 보는 바와 같이 최대 \(\sigma_{yy}\)를 얻는데 걸린 시간은 4가지 조건 모두 유사하지만, 이론적으로 의미 있는 차이는 0.055초에서 0.068초 사이의 그림 11.55(b)의 곡선에서 관찰할 수 있다. 이 그래프에서 알 수 있듯이, 탄성변형 또는 열전달의 효과를 고려할 때 그림 11.55(b)의 최대 \(\sigma_{yy}\) 커브에 도달하는 시점은 왼쪽에서부터 Case 4, Case 2, Case 3 및 Case 1 순서이고, Case 4의 경우 0.0625초일 때, 최대 응력이 발생한다. 이 차이는 이미 설명한 바와 같이 탄성변형 또는 열전달을 고려 여부에 달려 있다.
그림 11.53과 11.56는 Case 4의 재료 유동의 패턴이 0.0625초의 경과 후 급진적으로 변한다는 것을 보여준다. 그림 11.53에서 'T'로 표시된 금형 표면이 재료와 접촉한 직후, 그림 11.56에서 보는 것처럼 구조적으로 힘의 작용이 용이하지 않은 약한 랩의 끝부분에서 접촉이 발생하기 시작한다. 이것은 \(\sigma_{yy}\)의 경사의 급격한 증가가 약 0.0625초에서 일어나는 이유이다. 그림 11.56에서 볼 수 있는 바와 같이, 성형하중의 급격한 증가로 인한 랩의 상부에 가해지는 압축응력은 파단 부위의 금형 압력 \(\sigma_{yy}\)의 기울기를 완만하게 한다(그림 11.59 참조).
그림 11.55 파단지점에서 σyy의 변화
그림 11.56 시간 경과에 따른 재료-금형 접촉의 변화 (Case 4)
금형의 탄성변형, 즉 굽힘변형은 재료가 금형 골의 공동을 채우는 속도를 감소시켜 금형에 작용하는 최대 \(\sigma_{yy}\)의 변화뿐만 아니라 재료의 변형, 성형하중, 최대 \(\sigma_{yy}\)의 변화에도 영향을 미친다. 재료의 온도 강하는 그림 11.57(b)에서 볼 수 있듯이 최대 \(\sigma_{yy}\)의 변화를 야기한다. 이것은 냉각된 재료의 영역에서 증가된 유동응력에 기인하며, 이는 그림 11.57에 도시된 바와 같이 재료가 금형 외부 공동을 채우지 못하게 하여 외부 랩의 측력 및 굽힘을 증가시킨다. 이 현상은 그림 11.58에 도시되어 있으며, 여기서 mm 단위의 값은 금형과 재료 사이의 최대 갭을 나타낸다. 그러나 두 개의 강체 해석에서 볼 수 있듯이 온도의 고려 여부가 압출된 재료의 좁아진 폭을 생성하는데 크게 기여하지 않기 때문에 온도는 성형하중과 최대 \(\sigma_{yy}\)의 변화에 직접적인 영향을 미치지 않는다고 믿어진다.
그림 11.57 0.068초에서 재료의 유효응력과 유효변형률속도 및 온도(괄호속의 수, ℃)(Case 3)
그림 11.58은 파단 시점에서 \(\sigma_{yy}\) 곡선의 기울기가 그림 11.55에서 보는 바와 같이 명확하게 변할 때인 0.063초 경과시점 직후의 단류선을 비교한다. 금형 탄성변형을 고려할 경우, 금형 랩의 굽힘이 외곽의 금형 공극 내로 재료 유동을 감속시키기 때문에 단류선과 공극의 충진 정도의 차이를 발생시킨다.
재료에 대한 온도의 영향도 그림 11.58에서도 관찰될 수 있다. Case 1과 Case 3의 차이와 Case 2와 Case 4의 차이를 비교해 보면, 온도가 미치는 영향은 상대적으로 작다는 것을 알 수 있다. 그림 11.58과 그림 11.55에서 금형의 파단 영역 주위의 금형 공동의 충전과 \(\sigma_{yy}\)의 밀접한 관계를 확인할 수 있으며, 그림 11.59에서는 이를 보다 명확하게 보여준다. 약 0.06초가 지나면 파단 지점 주변의 바닥면이 재료와 접촉하기 시작하여 랩의 왼쪽 벽에 압력이 증가하여 바깥쪽으로 밀려난다. 따라서 접촉하중의 변화는 성형하중에 관계없이 파단 지점에서 \(\sigma_{yy}\)를 증가시킨다.
그림 11.59에서 왼쪽 벽에 대한 압력의 급격한 증가가 0.060초에서 0.065초 사이에서 발생했으며 이는 그림 11.55(b)에 나타난 파단지점에서 \(\sigma_{yy}\)의 급격한 증가와 관련이 있음을 알 수 있다.
전술한 분석은 재료 모델과 금형 모델의 영향을 이해하는 것에도 도움을 주지만, 시뮬레이션 기술의 이론과 실제의 이해에 도움이 될 것이다.
그림 11.58 단류선과 0.063초 경과시점에서의 미충진 공간의 비교
그림 11.59 시간경과에 따른 재료-금형 접촉면((a)에서 진한 부분) 및 접촉응력의 변화 (Case 1)