2 응력

2.1 응력의 정의

공학에서 힘 그 자체도 중요하지만, 단위면적당 작용하는 힘, 즉 응력(stress)이 이론의 전개와 응용 목적으로 긴요하게 사용되고 있다. 응력의 물리적 의미는 단위면적당 작용하는 힘이며, 차원은 [힘][길이]\(^{-2}\)이다. 응력은 일반적으로 각 질점마다 다르므로 질점의 위치, 즉 좌표 \(x_i\) 또는 (\(x_1\), \(x_2\), \(x_3\))의 함수이다. 3차원 공간에서 벡터는 세 개의 성분을 갖지만 응력은 아홉 개의 성분으로 표현되며, 이중 독립적인 응력 성분의 수는 여섯 개이다.

응력의 수학적 정의에 앞서 응력벡터(stress vector)를 공부하자. 그림 2.1에서 대상물체 내부 또는 경계상의 임의의 점 \(O\)를 지나는 가상의 단면(hypothetical cut)을 생각해 보자. 이 단면에는 힘의 균형을 유지시키기 위하여 그림 2.2에서 보는 바와 같이, 작용과 반작용 법칙을 따르는 내력이 분포하중의 형태로 작용하고 있다. 그림에서 보는 바와 같이 단면의 외향법선단위벡터(outwardly directed unit normal vector)를 \(\mathbf{n}\) 또는 \(n_i\) 라고 하고, 점 \(O\)를 중심으로 하는 단면적 \(\Delta A\)에 작용하는 내력의 합력을 \(\Delta F\)라고 하자. 이 때, \(O\)점 에서 \(\mathbf{n}\)에 대한 응력벡터는 다음과 같이 정의된다.

\[ t^{(n)}=\lim_{\Delta A \to 0 } \frac{\Delta F}{\Delta A} \tag{2.1} \]

응력벡터는 물체의 점에서 정의되므로 위치의 함수이다. 식 (2.1)의 응력벡터의 정의에서 외향법선단위벡터 \(\mathbf{n}\)과 \(\Delta A \to 0\) 을 유념해야 한다. 즉, 점은 면적 또는 체적을 가지고 있지 않지만, 한 점의 응력벡터를 정의하기 위하여 대상 면적의 방향과 크기를 고려하고 있다. 그림 2.3은 응력 또는 응력벡터를 설명하기 위하여 면을 정의하고 있다. 면의 외향법선벡터가 \(x_1\)-축과 일치하면 양의 \(x_1\)-면(positive\(x_1\)-face)이라고 정의하고, \(x_1\)-축과 반대 방향을 향하면 음의 \(x_1\)-면(negative\(x_1\) -face)이라고 칭한다. \(x_2\)-면과 \(x_3\)-면도 마찬가지로 정의된다. 면적 자체는 본래 음수가 될 수 없지만, 한 점을 지나는 단면은 항상 두 개씩 짝을 이루고 있으므로 그 면을 구분하기 위한 목적으로 양의 면과 음의 면이 정의된 것이다.

그림 2.1 대상 물체와 하중

그림 2.2 외향법선단위벡터가 인 면에 작용하는 내력

그림 2.3 양의 면과 음의 면의 정의

한편, 그림 2.4에서 보는 바와 같이 임의의 점 \(P\)에서 물체를 분리하면 두 개의 면이 생기고 이 두 면은 외향법선벡터 \(\mathbf{n}\)과 -\(\mathbf{n}\)에 의하여 정의된다. 분리된 면에서 점 \(P\)에 작용하는 단위면적당 힘, 즉 \(t^{(n)}\)과 \(t^{(-n)}\)은 뉴우톤의 제3운동법칙, 즉 작용과 반작용의 법칙에 의하여 그 크기는 같고 방향이 반대가 되어야 한다. 즉,

\[\mathbf{t}^{(n)} = -\mathbf{t}^{(-n)} \quad \text{또는} \quad t_i^{(n)} = -t_i^{(-n)} \tag{2.2}\]

이다.

그림 2.4 작용과 반작용의 법칙

벡터 \(\mathbf{n}\)이 \(x_1\)-축과 일치할 때, 즉 \(\mathbf{n=i}\) 또는 \(e_1\)인 경우, 응력벡터 \(\mathbf{t}^{(\mathbf{n})}\)의 \(x_1, x_2, x_3\)-성분을 각각 \(\sigma_{11}, \sigma_{12}, \sigma_{13}\) (또는 \(\sigma_{xx}, \sigma_{xy}, \sigma_{xz}\) )으로 정의한다. 즉,

\[\mathbf{t}^{(\mathbf{e}_1)} = \sum_{i=1}^{3} \sigma_{1i} \mathbf{e}_i \quad \text{또는} \quad t_j^{(\mathbf{e}_1)} = \sigma_{1j} = \lim_{\Delta A_1 \to 0} \frac{\Delta F_j}{\Delta A_1} \tag{2.3}\]

이다. 여기서 \(\Delta A_1\) 은 합력 \(\Delta \mathbf{F}\) 가 정의된 \(x_1\)-면상의 미소면적을 의미하며, \(\mathbf{e}_i\) 는 그림 2.1에서 보는 바와 같이 \(x_i\)-축의 단위벡터이다. 마찬가지로 응력 성분 \(\sigma_{21}, \sigma_{22}, \sigma_{23}, \sigma_{31}, \sigma_{32}, \sigma_{33}\) 등이 정의된다. 즉, 식 (2.3)을 일반화시키면 다음과 같다.

\[t_j^{(\mathbf{e}_i)} \equiv \sigma_{ij} = \lim_{\Delta A_i \to 0} \frac{\Delta F_j}{\Delta A_i} \tag{2.4}\]

여기서 \(A_i\)는 \(\mathbf{n} = \mathbf{e}_i\)에 의하여 정의되는 면적상의 미소면적이다. 따라서 응력 \(\sigma_{ij}\)는 \(i\)면에 작용하는 \(j\) 방향의 단위면적당 힘을 의미한다. 첨자 \(i\)와 \(j\)가 동일한 \(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}\)은 법선응력(normal stress)이며, 첨자가 서로 다른 \(\sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}, \sigma_{21}, \sigma_{32}, \sigma_{13}\) 등은 전단응력(shear stress)이다. 흔히 전단응력을 \(\sigma\) 대신 \(\tau\)를 사용하여 표현하며, 법선응력을 하나의 하첨자를 사용하여 표현한다. 예를 들면, \(\sigma_{12} (\sigma_{xy})\) 대신 \(\tau_{12} (\tau_{xy})\) 등으로 표현하며, 법선응력을 \(\sigma_{11} (\sigma_{xx})\) 대신 \(\sigma_x\) 등으로 표현하기도 한다. 법선응력은 힘이 면에 수직하게 작용하는 경우이므로 인장(양수) 또는 압축(음수) 응력을 나타낸다. 전단응력은 면적에 평행한 방향으로 작용하므로 단위면적당 전단력의 의미를 갖는다. 응력 성분을 행렬 형태로 표현하면 다음과 같다.

\[\begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \end{bmatrix} \quad \text{또는} \quad \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{bmatrix} \tag{2.5}\]

응력의 부호를 고려해 보자. 고체의 한 점을 통과하는 가상적 단면은 두 개씩 짝을 이룬다. 전술한 바와 같이 그 중에서 하나를 \(\mathbf{n}\)면(양의 면)이라고 하면, 다른 한 면은 \(-\mathbf{n}\) 면(음의 면)이 될 것이다. 식 (2.2)의 작용과 반작용의 법칙에 의하여 양의 면과 음의 면에는 크기는 같고 방향이 다른 힘이 작용한다. 그러므로 한 번의 절단으로 만들어진 두 개의 가상적 단면상의 동일 점에 작용하는 응력 성분은 동일함을 다음의 식으로부터 알 수 있다.

\[t_j^{(\mathbf{e}_i)} = -t_j^{(-\mathbf{e}_i)} \equiv \sigma_{ij} \tag{2.6}\]

이 식으로부터 응력 성분의 (+)부호는 양의 면에 양의 방향의 하중이 작용하거나 음의 면에 음의 방향의 하중이 작용한다는 것을 의미하며, 그 이외에는 (-)부호의 응력이 된다. 따라서 법선응력 성분이 양수라는 것은 그 성분의 방향으로 인장응력이 작용한다는 것을 의미한다.

한 점의 응력을 표현하는 과정을 재고해 보자. 물체의 모양을 수치적으로 표현하기 위하여 좌표계가 필요하다. 좌표계는 문제에 따라 편리한대로 잡을 수 있다. 고체역학 문제의 수치해석(유한요소해석 등)에서 직각좌표계(Retangular 또는 Cartesian coordinate system)만으로 모든 문제의 해결이 사실상 가능하므로 지금부터 직각좌표계를 중점적으로 설명한다. 물론 축대칭 문제를 원통좌표계로 수식화하면 2차원적 접근방법이 적용될 수 있으므로 주로 원통좌표계를 사용한다. 직각좌표계의 방향은 편리한대로 잡으면 된다. 일반적으로 널리 사용되는 수평선과 수직선으로 이루어진 \(x-y\) 좌표계가 보기에도 좋고 공간의 활용면에서도 효과적이다. 그러나 역학의 관점에서 특수한 방향의 직각좌표계를 사용하는 것이 효과적일 수 있다. 예를 들면, 주응력축과 일치하는 좌표계를 사용하면, 이론의 전개와 물리적 의미 파악의 관점에서 유리하다. 이에 관한 구체적 내용은 제2.3절에서 상술한다.

응력은 2차 텐서량이다[1.1]. 따라서 서로 다른 좌표계에 관한 동일점의 응력 텐서(stress tensor)는 다음의 좌표변환 법칙을 따른다.

\[\sigma_{i'j'} = \sum_{p=1}^{3} \sum_{q=1}^{3} T_{i'p} T_{j'q} \sigma_{pq}\]

또는

\[\begin{pmatrix} \sigma_{1'1'} & \sigma_{1'2'} & \sigma_{1'3'} \\ \sigma_{2'1'} & \sigma_{2'2'} & \sigma_{2'3'} \\ \sigma_{3'1'} & \sigma_{3'2'} & \sigma_{3'3'} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} T_{1'1} & T_{1'2} & T_{1'3} \\ T_{2'1} & T_{2'2} & T_{2'3} \\ T_{3'1} & T_{3'2} & T_{3'3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} T_{1'1} & T_{2'1} & T_{3'1} \\ T_{1'2} & T_{2'2} & T_{3'2} \\ T_{1'3} & T_{2'3} & T_{3'3} \end{pmatrix} \tag{2.7}\]

여기서 \(T_{i'p}\)는 변환행렬의 성분이고, \(x_{i'}\)-축과 \(x_p\)-축이 이루는 각도의 cosine 값이다. 즉,

\[T_{i'p} = \cos(x_{i'}, x_p) \tag{2.8}\]

이다.

응력 텐서 중에서 하나의 축(대개 \(x_3\)-축(또는 \(z\)-축)으로 간주함)에 대한 성분이 모두 0일 때, 이 응력을 평면응력(plane stress)이라고 한다. 직사각단면 보, 박판 등의 문제가 평면응력의 대표적인 예이다. 평면응력에 대한 그림 2.5의 두 좌표계 간의 변환관계는 다음과 같다.

\[\begin{bmatrix} \sigma_{1'1'} & \sigma_{1'2'} \\ \sigma_{2'1'} & \sigma_{2'2'} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \tag{2.9}\]

여기서 강조해 두어야 할 점은 비록 그 수치가 다르더라도 식 (2.9)에서 두 집합의 응력 성분들은 동일한 물리적 의미를 갖는다는 사실이다. 특히 식 (2.9)는 동질변환(similarity transformation)이므로 두 응력 텐서의 고유치(eigenvalue), 즉 주응력(principal stress)은 동일하다. 물론 이 점은 3차원 공간에서도 마찬가지로 성립한다.

그림 2.5 좌표변환

한편, 응력벡터 \(\mathbf{t}^{(n)}\) 과 응력 텐서 \(\sigma_{ij}\) 는 다음의 관계에 있다.

\[t_i^{(n)} = \sum_{j=1}^{3} \sigma_{ji} n_j \quad \text{또는}\]

\[\begin{bmatrix} t_x^{(n)} \\ t_y^{(n)} \\ t_z^{(n)} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \end{bmatrix} \tag{2.10}\]

이 관계식을 Cauchy의 식 (Cauchy's formula)이라고 한다. 이 공식으로부터 한 점에서 응력이 알려져 있다면 임의의 방향에 대한 응력벡터, 즉 단위면적당 작용하는 힘을 구할 수 있으며, 표면력벡터가 \(t_i^{(n)} = \bar{t}_i\) 로 주어진 경계 \(S_t\) 에서 경계조건을 응력 성분으로 표현할 수 있다. 즉,

\[\sum_{j=1}^{3} \sigma_{ji} n_j = \bar{t}_i \quad \text{on} \quad S_t \tag{2.11}\]

이다. 이 식에서 우변은 기지의 값이고 좌변에서 벡터 \(n_j\)는 경계에서 정의되는 외향 법선단위벡터로써 경계에서 기하학적으로 결정되는 기지의 값이므로, 표면력벡터가 주어진 경계는 응력에 관한 조건이 주어진 경계이다.

2.2 평형방정식

가속도의 영향을 무시할 수 있다면 평형조건으로부터 모든 외력의 합은 0이 되어야 하며, 외력의 1차 모멘트의 합도 0이 되어야 한다. 그리고 이 조건은 그림 2.6의 대상 고체로부터 가상적으로 분리된 임의의 체적 \(V'\) 에 대해서도 성립해야 한다. 물론 분리된 체적 \(V'\) 에 평형조건을 적용할 때, 분리 이전의 경계 \(S'\) 상에 작용하던 내력은 분리된 체적 \(V'\) 의 경계인 \(S'\) 상에 작용하는 외력으로 간주되어야 한다.

그림 2.6 고체와 부분계

외력에는 체적력(body force)과 표면력이 있으며, 평형조건으로부터 외력의 합이 0이 되어야 하므로

\[\int_{S'} t_i^{(n)} dS + \int_{V'} f_i dV = 0 \quad (i=1,2,3) \tag{2.12}\]

이다. 여기서 \(f_i\)는 단위부피당 체적력을 의미한다. 식 (2.10)의 Cauchy의 공식과 발산이론을 이용하면, 식 (2.12)는

\[\int_{V'} \left( \sum_{j=1}^{3} \frac{\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} + f_i \right) dV = 0 \tag{2.13}\]

이 되고, 이 식은 임의의 부분계 \(V'\)에 대하여 성립해야 하므로

\[\sum_{j=1}^{3} \frac{\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} + f_i = 0 \quad \text{또는} \quad \begin{matrix} \frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{zx}}{\partial z} + f_x = 0 \\ \frac{\partial \sigma_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{yy}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{zy}}{\partial z} + f_y = 0 \\ \frac{\partial \sigma_{xz}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{yz}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z} + f_z = 0 \end{matrix} \tag{2.14}\]

이 성립해야 한다. 이 방정식을 평형방정식(equation of equilibrium)이라고 한다. 탄성역학이나 소성역학에서는 식 (2.14)의 평형방정식을 지배방정식으로 한다. 만약 가속도의 영향을 무시할 수 없다면, 평형방정식에 상응하는 다음의 운동방정식이 유도된다.

\[\sum_{j=1}^{3} \frac{\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} + f_i = \rho \dot{v}_i \tag{2.15}\]

여기서 \(\dot{v}_i\)는 가속도이다. 식 (2.14)와 식 (2.15)에서 첫 번째 항을 확산항(diffusion term)이라고 한다. 고체역학에서는 재료의 유동에 따라 발생하는 가속도 항을 반영하는 대류항(convective term)은 무시된다. 한편, 부분계에 대한 모멘트의 합이 0이 되어야 한다는 조건으로부터

\[\int_{S'} \mathbf{x} \times \mathbf{t}^{(n)} dS + \int_{V'} \mathbf{x} \times \mathbf{f} dV = \mathbf{0}\]

또는

\[\sum_{j=1}^{3} \sum_{k=1}^{3} \int_{S'} \varepsilon_{ijk} x_j t_k^{(n)} dS + \sum_{j=1}^{3} \sum_{k=1}^{3} \int_{V'} \varepsilon_{ijk} x_j f_k dV = 0 \quad (i=1, 2, 3) \tag{2.16}\]

이다. 여기서 \(\varepsilon_{ijk}\) 는 교반기호(permutation symbol)이며, 지수 \(i\), \(j\), \(k\) 에 따라 다음과 같이 정의된다.

\[\varepsilon_{ijk} = \begin{cases} 0 & \text{if } i=j \text{ or } k=i \\ 1 & \text{if } (i, j, k) = (1, 2, 3) \text{ or } (2, 3, 1) \text{ or } (3, 1, 2) \\ -1 & \text{if } (i, j, k) = (1, 3, 2) \text{ or } (2, 1, 3) \text{ or } (3, 2, 1) \end{cases} \tag{2.17}\]

Cauchy의 공식과 발산이론으로부터

\[\sum_{j=1}^{3} \sum_{k=1}^{3} \int_{V'} \varepsilon_{ijk} \left[ x_j \left( \sum_{p=1}^{3} \frac{\partial \sigma_{pk}}{\partial x_p} + f_k \right) + \sigma_{jk} \right] dV = 0 \quad (i=1,2,3) \tag{2.18}\]

을 얻는다.

평형방정식으로부터 \(\sum_{p=1}^{3} \partial \sigma_{pk} / \partial x_p + f_k = 0\) 이므로

\[\sum_{j=1}^{3} \sum_{k=1}^{3} \varepsilon_{ijk} \sigma_{jk} = 0 \quad (i=1,2,3) \tag{2.19}\]

이다. 따라서 \(\varepsilon_{ijk}\) 가 \(j\) 와 \(k\) 에 대하여 의대칭(skew-symmetric)이므로 \(\sigma_{ij}\) 는 대칭이 되어야 한다. 즉,

\[\sigma_{ij} = \sigma_{ji} \quad \text{또는} \quad \sigma_{xy} = \sigma_{yx}, \sigma_{yz} = \sigma_{zy}, \sigma_{zx} = \sigma_{xz} \tag{2.20}\]

이다. 식 (2.14)와 식 (2.20)는 응력 성분 간의 상호관계를 맺어주는 것으로, 이 관계를 만족하는 응력 성분이 탄성역학과 소성역학 등의 정적 또는 준정적 역학문제에서 구하고자 하는 응력 분포가 되는 것이다.

2.3 주응력과 응력불변치

그림 2.7에서 보는 바와 같이, 응력벡터와 외향법선단위벡터를 내적하면

\[\sigma_N = \mathbf{t}^{(n)} \cdot \mathbf{n} = \sum_{i=1}^{3} t_i^{(n)} n_i = \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} \sigma_{ji} n_i n_j \tag{2.21}\]

이며, \(\sigma_N\)은 응력벡터의 법선성분, 즉 법선응력 성분이 된다. 이 법선응력 성분이 최대가 되는 방향을 주응력의 방향이라고 하고 그 크기를 주응력이라고 한다. 주응력축에서 보면 응력벡터와 외향법선벡터는 일직선상에 있게 된다. 즉 \(t_i^{(n)} \propto n_i\) 이다. 따라서 주응력축에서 전단응력 성분은 0 이며, 주응력의 방향 \(\mathbf{n}\)과 주응력의 크기 \(\sigma_N\)은 다음의 관계를 만족해야 한다.

그림 2.7 응력벡터와 법선 및 접선 응력 성분

\[t_i^{(n)} = \sum_{j=1}^{3} \sigma_{ij} n_j = \sigma_N n_i \quad \text{또는} \quad \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \end{bmatrix} = \sigma_N \begin{bmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \end{bmatrix} \tag{2.22}\]

식 (2.22)은 제차선형방정식(homogeneous linear equation)이며, 고유치 문제(eigenvalue problem)이다. 이 고유치 문제가 의미있는 해를 갖기 위해서는 다음의 특성방정식(characteristic equation)을 만족해야 한다.

\[|\sigma_{ij} - \sigma_N \delta_{ij}| = 0 \quad \text{또는} \quad \begin{vmatrix} \sigma_{xx} - \sigma_N & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} - \sigma_N & \sigma_{yz} \\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} - \sigma_N \end{vmatrix} = 0 \tag{2.23}\]

이 특성방정식은 방정식 (2.22)이 부정이 되도록 함으로써 무수히 많은 해를 갖도록 하는 의미를 내포하고 있다. 즉, 선형방정식이 선형종속(linearly dependent) 되도록 하는 것이다. 이 조건을 정리하면 다음의 3차 대수방정식이 유도된다.

\[\sigma_N^3 - I_1 \sigma_N^2 - I_2 \sigma_N - I_3 = 0 \tag{2.24}\]

여기서 \(I_1, I_2, I_3\)은 다음과 같이 정의된다.

\[I_1 = \sum_{i=1}^{3} \sigma_{ii} = \sigma_{xx} + \sigma_{yy} + \sigma_{zz} \tag{2.25}\]

\[\begin{aligned} I_2 &= \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} (\sigma_{ij}\sigma_{ij} - \sigma_{ii}\sigma_{jj}) \\ &= -\sigma_{xx}\sigma_{yy} - \sigma_{yy}\sigma_{zz} - \sigma_{zz}\sigma_{xx} + \sigma_{xy}^2 + \sigma_{yz}^2 + \sigma_{zx}^2 \end{aligned} \tag{2.26}\]

\[I_3 = |\sigma_{ij}| = \sigma_{xx}\sigma_{yy}\sigma_{zz} + 2\sigma_{xy}\sigma_{yz}\sigma_{zx} - \sigma_{xx}\sigma_{yz}^2 - \sigma_{yy}\sigma_{zx}^2 - \sigma_{zz}\sigma_{xy}^2 \tag{2.27}\]

응력 텐서가 대칭이므로 선형대수학의 이론에 의하여 식 (2.24)는 세 개의 실근 \(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3\) (일반적으로 \(\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3\) 순으로 둠)을 갖는다. \(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3\) 은 주응력이라는 물리적 의미를 가지며, 응력 텐서의 고유치이다. 주응력 중에서 최대값과 최소값은 각각 최대와 최소 법선응력이 된다. 각 주응력 \(\sigma_i\)를 식 (2.22)의 \(\sigma_N\)에 대입하여 구한 벡터 \(\mathbf{n}^{(i)}\) 의 방향이 주응력 \(\sigma_i\) 에 상응하는 주응력축의 방향이 된다. 주목할 점은 주응력축에 대한 전단응력이 0이라는 사실이다. 그리고 세 개의 주응력축은 \(\mathbf{n}^{(i)}\) 는 서로 직교한다고 간주할 수 있으므로 다음의 관계가 성립한다.

\[\mathbf{n}^{(i)} \cdot \mathbf{n}^{(j)} = \delta_{ij} \tag{2.28}\]

여기서 \(\delta_{ij}\)는 크로네커델타(Kronecker delta)이며, \(i\) 와 \(j\)가 동일하면 1의 값을 갖고 다르면 0의 값을 갖는다. 주응력(고유치)은 응력이 2차 텐서량이므로 좌표계에 무관한 값이다. 즉, 한 점의 응력상태가 주어졌다면, 주응력의 크기와 방향은 이미 결정된 것이다. 좌표계란 위치와 기계량을 표현하거나 정량화하기 위한 기준을 제공할 뿐이다. 따라서 식 (2.24)에서 \(I_1, I_2, I_3\)은 좌표계와 무관하게 결정되는 값이며, 응력불변치(stress invariants)이다. 그러므로 식 (2.25)~(2.27)의 응력불변치를 주응력축에 대하여 표시하면, 주응력축에서 전단응력은 0이므로

\[I_1 = \sigma_1 + \sigma_2 + \sigma_3 \tag{2.29}\]

\[I_2 = -\sigma_1\sigma_2 - \sigma_2\sigma_3 - \sigma_3\sigma_1 \tag{2.30}\]

\[I_3 = \sigma_1\sigma_2\sigma_3 \tag{2.31}\]

로 간소화되며, \(I_1, I_2, I_3\) 을 각각 첫번째 응력불변치, 두번째 응력불변치, 세번째 응력불변치라고 한다. 식 (2.29)~(2.31)에서 보는 바와 같이 주응력축은 응력불변치들을 간결하게 표현하도록 하고, 이론의 전개를 용이하게 한다.

2.4 편차응력 텐서와 유효응력

\(\sigma_m = I_1 / 3\) 은 평균응력(mean stress)이며 평균응력의 부, 즉 \(p = -\sigma_m\) 을 정수압(hydrostatic pressure) 이라고 한다. 일반적으로 정수압은 소재의 소성변형에 큰 영향을 주지 않는 것으로 밝혀져 있다. 따라서 응력 텐서의 법선성분에서 평균응력을 뺀 편차응력 텐서

\[\sigma_{ij}' = \sigma_{ij} - \sum_{k=1}^{3} \frac{\sigma_{kk}}{3} \delta_{ij} \tag{2.32}\]

를 이론 전개 목적으로 빈번히 사용하고 있다. 여기서 \(\delta_{ij}\)는 크로네커델타(Kronecker delta)이다. 편차응력 텐서 \(\sigma_{ij}'\) 은 2차 텐서량이며 다음의 세 개의 불변치를 갖는다.

\[J_1 = 0 \tag{2.33}\]

\[J_2 = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} \sigma_{ij}' \sigma_{ij}' = \frac{1}{2} ({\sigma_1'}^2 + {\sigma_2'}^2 + {\sigma_3'}^2) \tag{2.34}\]

\[J_3 = |\sigma_{ij}'| = \sigma_1' \sigma_2' \sigma_3' \tag{2.35}\]

따라서 편차응력 텐서의 첫 번째 불변치는 항상 0이므로 편차텐서의 불변치는 사실상 두 개이다. 한편, \(I_2\)에서 \(I_1\)의 영향을 분리하면 \(I_2\)는 다음과 같이 정리된다.

\[\begin{aligned} I_2 &= -\frac{1}{3}I_1^2 + \frac{1}{6}[(\sigma_{xx} - \sigma_{yy})^2 + (\sigma_{yy} - \sigma_{zz})^2 + (\sigma_{zz} - \sigma_{xx})^2 + 6\sigma_{xy}^2 + 6\sigma_{yz}^2 + 6\sigma_{zx}^2] \\ &= -\frac{1}{3}I_1^2 + \frac{1}{6}[(\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2] \\ &= -\frac{1}{3}I_1^2 + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} \sigma_{ij}' \sigma_{ij}' \\ &= -\frac{1}{3}I_1^2 + J_2 \end{aligned} \tag{2.36}\]

따라서 \(J_2\) 는 \(I_2\)에서 정수압의 영향(\(I_1\))을 제외한 것임을 알 수 있다. 유효응력(effective stress) 또는 상당응력(equivalent stress) \(\bar{\sigma}\)를 다음과 같이 정의한다.

\[\begin{aligned} \bar{\sigma} &= \sqrt{3J_2} \\ &= \sqrt{\frac{3}{2} \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} \sigma_{ij}' \sigma_{ij}'} \\ &= \sqrt{\frac{1}{2} [(\sigma_{xx} - \sigma_{yy})^2 + (\sigma_{yy} - \sigma_{zz})^2 + (\sigma_{zz} - \sigma_{xx})^2 + 6\sigma_{xy}^2 + 6\sigma_{yz}^2 + 6\sigma_{zx}^2]} \\ &= \sqrt{\frac{1}{2} [(\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2]} \end{aligned} \tag{2.37}\]

유효응력은 3차원 또는 2차원 응력을 단순인장시험 시의 응력에 상응하는 값으로 표현한 것이다.

2.5 2차원 역학 문제와 축대칭 문제

2차원 고체역학 문제는 평면응력(plane stress) 문제와 평면변형(plane strain) 문제로 수식화되며, 축대칭 문제(axisymmetric problem)도 2차원 문제로 분류된다. 실제 대부분의 2차원 문제는 엄밀한 의미에서 볼 때 3차원 문제에 속하지만, 2차원 평면응력 또는 평면변형 문제의 가정 하에서 정의된다. 공학적으로 3차원 해석결과를 얻는 데는 많은 노력과 비용이 투입되어야 하고, 3차원 해석결과를 문제 해결 목적으로 직접 활용하는 것이 용이하지 않기 때문이다.

그림 2.8 평면응력

그림 2.8에서 보는 바와 같이 3차원 공간에서 어떤 하나의 방향에 대한 응력 성분이 모두 0일 때, 이 응력을 평면응력이라고 한다. 일반적으로 \(z(x_3)\)-방향을 응력 성분이 0인 방향과 일치시킨다. 따라서 평면응력 문제의 응력은 다음 식으로 표현된다.

\[\begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} \end{bmatrix} \quad \text{또는} \quad \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} \end{bmatrix} \tag{2.38}\]

한편, 하중 조건, 재료의 성질, 경계조건 등이 모두 축대칭인 고체역학 문제를 축대칭 문제라고 한다. 축대칭이기 위하여 축에 수직한 단면의 중심을 지나는 모든 선분과 축이 이루는 면이 대칭면이어야 한다. 축대칭 문제는 실제 3차원 문제이지만 2차원 평면상에서의 해석이 가능하다. 모든 대칭면에서의 역학적 거동이 동일하기 때문이다. 축대칭 문제를 2차원 평면상의 해석 문제로 수식화하는 과정에서 어떠한 가정 및 근사화도 개입되지 않는다. 다만, 실제 원통형 좌표계로 표현된 3차원의 미분방정식에 내재된 계수 중의 일부가 이것에 상응하는 2차원의 미분방정식에서 좌표의 함수로 변환된다.

(a) 3차원 문제 (b) 축대칭 문제

그림 2.9 원통좌표계의 응력 텐서와 축대칭 문제

축대칭 문제는 \(r-\theta-z\) 원통좌표계로 수식화되고 있다. 그림 2.9(a)는 원통좌표계에서 응력 텐서 \(\sigma_{ij}\)를 정의한다. 즉,

\[\begin{bmatrix} \sigma_{rr} & \sigma_{r\theta} & \sigma_{rz} \\ \sigma_{\theta r} & \sigma_{\theta\theta} & \sigma_{\theta z} \\ \sigma_{zr} & \sigma_{z\theta} & \sigma_{zz} \end{bmatrix} \tag{2.39}\]

이다. 대칭성 논리로부터 축대칭 문제에 대하여

\[\sigma_{r\theta} = \sigma_{\theta z} = 0 \tag{2.40}\]

이므로 축대칭 문제의 응력 성분은 그림 2.9(b)에서 보는 바와 같다. 즉, 축대칭 문제에서 비영(non-zero) 응력 성분은 다음과 같다.

\[\begin{bmatrix} \sigma_{rr} & 0 & \sigma_{rz} \\ 0 & \sigma_{\theta\theta} & 0 \\ \sigma_{zr} & 0 & \sigma_{zz} \end{bmatrix} \tag{2.41}\]

2.6 등방성 항복이론

자중의 영향을 고려하지 않을 때, 고체에 힘을 가하지 않으면 모든 응력 성분이 0이고 변형이 발생하지 않는다. 어떤 크기 이하의 하중을 가했다가 하중을 제거하면, 원래의 모양으로 되돌아온다. 이 때의 변형을 탄성변형(elastic deformation)이라고 일컫는다. 어떤 크기 이상의 힘을 가했다가 제거하면, 일부의 변형은 탄성 회복되고 나머지는 영구변형으로 물체에 남게 되는데 이를 소성변형(plastic deformation)이라고 일컫는다.

해저 10000m에 존재하는 모래나 망간 덩어리는 약 1000기압의 매우 큰 정수압 \(p\) 의 영향을 받고 있다. 이 물체에는 재료의 항복강도에 비하여 절대값이 매우 큰 법선응력, 즉 \(\sigma_x = \sigma_y = \sigma_z = -p\) 가 작용한다. 만약 이 응력상태에 의하여 파괴되거나 소성변형이 발생한다면, 바다는 점점 깊어지고 궁극적으로는 지구가 붕괴될 것이다. 지구가 붕괴되지 않고 있다는 사실은 응력 성분이 단순히 크다고 소성변형 또는 파괴를 발생시키는 것이 아님을 말해 준다. 문제는 소재가 어떤 응력상태에 도달하면 소성변형을 발생시키느냐는 것이다. 엄밀히 말하면 이 문제에 대한 정답은 없다. 단지 가설 및 이론, 즉 항복이론이 있을 뿐이며, 항복이론의 타당성은 재료마다 조금씩 다르다.

먼저 그림 2.10(a)의 단축인장 시에 소재의 변형거동에 관하여 공부해 보자. 그림 2.10(b)에 단축인장시험 시의 응력상태와 진응력 \(\sigma_t\)-진변형률 \(\varepsilon_t\) 곡선을 도시하였다. 이 문제에서는 \(\sigma_{11} = \sigma_t\) 이외의 응력은 0이다. 잔류응력이 없는 상태에서 \(\sigma_{11}\)을 0으로부터 증가시켜 초기항복응력 \(Y_o\) 에 도달할 때(\(\sigma_{11} = Y_o\)), 초기소성변형이 발생한다. 일반적으로 소성변형이 발생하면, 금속재료의 대부분은 추가적인 변형을 저지하려는 능력, 즉 변형경화(strain hardening)의 성질을 보인다. 그림 2.10(b)에서 보는 바와 같이 변형률의 증가와 함께 그 순간의 항복응력, 즉 유동응력 \(Y\)는 증가한다. 대다수의 금속재료는 소성변형을 야기시킨 후 힘을 제거하면, 그림 2.10(b)에서 선 \(OA\)에 평행한 \(BC\)선을 따라 탄성회복된다. 다시 힘을 가하면 \(CB\)를 따라 항복점 \(B\)에 도달한다고 간주한다. 물론 실제는 조금 차이가 날 수 있으나 대부분 그 차이는 무시할 수 있다. 따라서 어떤 상태, 즉 \(\varepsilon = \varepsilon_t\) 에서 응력 \(\sigma_{11}\) 이 유동응력 \(Y(\varepsilon_t)\) 보다 작으면, 즉 \(\sigma_{11} \le Y(\varepsilon_t)\) 이면, 물체는 탄성상태에 머무르게 된다. 그런데 \(\sigma_{11} > Y(\varepsilon_t)\) 가 될 수 있을까? 점 B에서는 \(\sigma_{11} > Y_o\) 이지만 이미 소성변형이 일어나 변형경화된 소재에서 \(Y_o\) 는 무의미하다. 결코 \(\sigma_{11} > Y(\varepsilon_t)\) 가 될 수 없다.

(a) 인장시험

(b) 진응력-진변형률 곡선

그림 2.10 인장시험과 진응력-진변형률 곡선

응력상태를 평가하고 소성변형을 정량화하기 위하여 항복함수(yield function) \(f\) 를 정의한다. 항복함수는 응력의 함수, 즉

\[f = f(\sigma_{ij}) \tag{2.42}\]

이며, 어떤 점의 응력에 대한 함수값 \(f\) 가 음수이면 그 점은 탄성영역에 존재하고, 함수값이 0이면 소성영역에 속한다는 의미를 가진 함수이다. 그러나 항복함수는 양수가 될 수 없다. 즉,

\[\begin{aligned} &f(\sigma_{ij}) < 0 : \sigma_{ij}\text{는 탄성영역 내에 존재한다.} \\ &f(\sigma_{ij}) = 0 : \sigma_{ij}\text{는 항복면 상에 존재한다.} \\ &f(\sigma_{ij}) > 0 : \text{불가능하다.} \end{aligned} \tag{2.43}\]

이다. 전술한 인장시험에서 항복함수는 \(f = \sigma_{11} - Y\) 이다.

Drucker의 가설은 소성역학의 이론 전개에 중요한 역할을 한다. 즉, Drucker의 가설은 항복면(곡면)은 볼록해야 하고 항복면 상의 한 점에 상응하는 변형률속도 텐서는 항복면에 수직해야 한다는 결과로 귀결된다. 이것을 직교유동법칙(associated flow rule)이라고 한다. Drucker의 가설을 요약하면 다음과 같다.

① 하중을 가하는 과정에서 추가되는 응력은 반드시 양의 일을 한다. ② 추가적인 응력을 가했다가 제거할 때, 소성변형이 발생했다면, 전체 행한 일은 양수가 되어야 한다. 그리고 변형경화 재료의 변형이 탄성범위 내에서 이루어졌다면 행한 일은 0이 되어야 한다. ③ 결과적으로 진응력-진변형률 곡선의 형태가 그림 2.11⒜와 같아야 하고, 그림 2.11⒝와 그림 2.11⒞는 Drucker의 가설에 위배된다. ④ Drucker의 가설은 항복곡면이 볼록해야 하고 소성변형률속도는 항복곡면에 수직한 방향으로 발생한다는 결과를 낳는다.

그림 2.11 Drucker의 가설

항복을 일으키는 어떤 상태의 응력은 좌표계에 따라 다른 성분값으로 표현될 수 있지만 근본적으로 항복현상 자체를 피할 수 없다. 즉, 응력 텐서는 방향에 따라 다른 값으로 표현되지만, 응력의 크기와 직결되어 있는 항복현상은 응력을 정의하는 데 사용된 좌표계와 무관하다. 따라서 응력불변치와 항복현상 사이에는 깊은 연관관계가 있음을 예상할 수 있다. 소재가 등방성경화능(isotropic hardening)을 가졌다면, 항복이 좌표계에 무관해야 하므로 항복함수 \(f\)는 응력불변치 \(I_1, I_2, I_3\) 의 함수가 되어야 한다. 즉, 항복함수는 다음의 형태가 되어야 한다.

\[f(I_1, I_2, I_3) = 0 \tag{2.44}\]

일반적으로 다공질재료가 아니라면, 소재는 적정한 크기의 정수압 상태에서 파괴 또는 소성변형을 일으키지 않는다. 따라서 \(I_1\) 이 소재의 항복에 미치는 영향을 무시한다. 이 경우의 항복함수는

\[f(J_2, J_3) = 0 \tag{2.45}\]

가 되어야 한다. 여기서 \(J_2\)와 \(J_3\)는 편차응력의 불변치이며, 다음 식으로 정의된다.

\[J_2 = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} \sigma_{ij}' \sigma_{ij}' = \frac{1}{2} ({\sigma_1'}^2 + {\sigma_2'}^2 + {\sigma_3'}^2) = -\frac{1}{3} I_1^2 + I_2 \tag{2.46}\]

\[J_3 = |\sigma_{ij}'| = \sigma_1' \sigma_2' \sigma_3' \tag{2.47}\]

이 식에서 \(\sigma_i'\) 에 대하여 \(J_2\)는 우함수이고, \(J_3\)은 기함수임을 알 수 있다. 등방성재료의 응력상태가 \((\sigma_1', \sigma_2', \sigma_3')\) 일 때 항복이 발생하였다면, \((-\sigma_1', \sigma_2', \sigma_3')\) 일 때도 항복이 발생해야 한다. 그런데 \(J_3(\sigma_1', \sigma_2', \sigma_3') = -J_3(-\sigma_1', \sigma_2', \sigma_3')\) 이므로 항복함수 \(f\) 는 \(J_3\)에 관하여 우함수가 되어야 한다. 가령, \(J_3\)의 제곱 또는 4승 등의 항으로 항복함수에 포함되어야 한다. 따라서 현실성이 높지 않다.

재료의 변형경화 현상은 등방성경화(isotropic hardening)와 이동경화(kinematic hardening)로 설명되고 있다. 등방성경화는 비록 소재가 압축변형을 받아 경화되었더라도 인장변형이 가해지면 동일한 경화능을 나타낸다는 가정에 바탕을 둔 이상적 경화특성을 일컫는 용어이다. 즉, 등방성경화란 어떤 재료의 인장시편에 압축변형을 가하여 항복응력이 \(Y_1\)에서 \(Y_2\)로 증가한 상태에서 인장력을 가하면, \(Y_2\)의 인장응력이 작용할 때 초기항복이 발생한다는 가정에 바탕을 둔 경화특성이다. 이러한 특성을 나타내는 소재는 엄밀한 의미에서 없다고 할 수 있다. 그러나 소성가공중 변형모드의 변화가 극심하지 않으며, 극심할 때는 열처리를 통하여 변형경화의 정도를 완화시켜 주는 과정이 있기 때문에, 경험적으로 볼 때 등방성경화의 가정은 큰 오차를 발생시키지 않는다. 그러나 바우싱거 효과(Bauschinger effect) 등을 등방성경화에서는 표현할 수 없다.

앞에서 항복함수가 가져야 할 기본적 요건에 관하여 공부하였다. 이러한 요건을 만족하면서 널리 사용되고 있는 다수의 항복이론(yield criterion)이 소개되어 있다. von Mises(또는 Huber-von Mises) 항복이론과 Tresca 항복이론이 대표적인 항복이론이다.

2.6.1 von Mises 항복이론

von Mises 항복이론은 항복이론 중 소성가공 공정의 해석 목적에 가장 널리 사용되는 이론이다. 관련 유동법칙이 명확한 수학적 형태(closed-form)로 표현될 뿐만 아니라 실험적으로도 그 우수성이 입증되어 있기 때문이다. von Mises 항복이론은 응력상태가 다음 식을 만족할 때, 소재가 항복을 일으킨다는 학설이다.

\[f = J_2 - k^2 = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} \sigma_{ij}' \sigma_{ij}' - k^2 = 0\]

또는

\[\bar{\sigma} = \sqrt{\frac{1}{2} [(\sigma_{xx} - \sigma_{yy})^2 + (\sigma_{yy} - \sigma_{zz})^2 + (\sigma_{zz} - \sigma_{xx})^2] + 3\sigma_{xy}^2 + 3\sigma_{yz}^2 + 3\sigma_{zx}^2} = Y \tag{2.48}\]

여기서 \(\bar{\sigma}\)는 유효응력(effective stress) 또는 상당응력(equivalent stress)이다. \(Y\)와 \(k\)는 각각 소재의 항복응력(yield stress)과 순수전단항복응력(yield stress in pure shear)이다. 순수비틀림 시험에서 항복상태의 소재에 작용하는 순수전단 항복응력이 \(k\) 일 때 주응력이 \(\sigma_1 = k, \sigma_2 = 0, \sigma_3 = -k\) 이기 때문에 식 (2.48)로부터 \(k\) 와 \(Y\)는 다음의 관계를 만족한다.

\[k = \frac{Y}{\sqrt{3}} \tag{2.49}\]

항복응력 \(Y\) 는 소재의 성질과 관련된 값이며, 변형률, 변형률속도, 온도, 재료의 손상도(damage), 재료의 미세구조(microstructure) 등의 함수이다. 따라서 von Mises 항복이론은 유효응력이 소재의 항복응력에 도달하면 항복 또는 소성변형이 일어난다는 학설이다. 이 학설이 실제 현상을 잘 반영한다는 사실을 여러 실험적 연구결과와 적용 경험이 뒷받침해 주고 있다.

2.6.2 Tresca 항복이론

Tresca 항복이론(최대전단응력항복이론, maximum shear stress yield criterion)도 널리 사용되고 있다. Tresca 항복이론은 다음과 같이 수식화된다.

\[f = \tau_{\max} - k = 0 \tag{2.50}\]

즉, 최대전단응력이 소재의 허용전단응력 \(k\)에 도달하면, 항복이 발생한다는 뜻이다. 인장시험에서 항복이 발생하는 시점에서의 최대주응력 \(\sigma_1\) 은 \(Y\) 이고 최소주응력 \(\sigma_3\) 은 0이다. 따라서 인장시험에서 항복에 도달했을 때 최대전단응력 \(\tau_{\max}\) 가

\[\tau_{\max} = \frac{\sigma_{\max} - \sigma_{\min}}{2} = \frac{Y}{2} \tag{2.51}\]

이므로, 소재의 허용전단응력 \(k\) 와 항복응력 \(Y\) 는

\[k = \frac{Y}{2} \tag{2.52}\]

의 관계에 있다. Tresca 항복이론은 강도해석 등의 목적으로 수계산 및 근사해석 시에 널리 사용되고 있으나, 소성가공 공정의 시뮬레이션 목적으로는 거의 활용되지 않고 있다.

2.6.3 평면응력 문제의 항복함수

평면응력에서는 평면에 수직한 방향이 항상 하나의 주응력축이 되며 그 방향에 대한 주응력의 크기는 0이다. 따라서 편의상 \(\sigma_3 = 0\) 으로 두자.

그림 2.12 평면응력 문제의 항복함수와 항복궤적

(1) von Mises 항복함수

\(J_2 = \frac{1}{6} [(\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2]\) 와 \(\sigma_3 = 0\) 을 식 (2.48)에 대입하여 정리하면, 평면응력 문제에서 von Mises 항복조건은 다음과 같이 요약된다.

\[f = \sigma_1^2 - \sigma_1\sigma_2 + \sigma_2^2 - Y^2 = 0 \tag{2.53}\]

이 항복궤적(yield locus)은 그림 2.12에서 보는 바와 같이 타원이며, 볼록하다.

(2) Tresca 항복함수

Tresca 항복함수는 다음과 같이 여섯 개 구간에서 서로 다른 함수로 표현된다.

1. \(\sigma_1 > \sigma_2 > 0\) 일 경우: \(\tau_{\max} = \sigma_1 / 2 = k = Y / 2, \quad f = \sigma_1 - Y\)
2. \(\sigma_2 > \sigma_1 > 0\) 일 경우: \(\tau_{\max} = \sigma_2 / 2 = k = Y / 2, \quad f = \sigma_2 - Y\)
3. \(\sigma_2 > 0 > \sigma_1\) 일 경우: \(\tau_{\max} = (\sigma_2 - \sigma_1) / 2 = k = Y / 2, \quad f = \sigma_2 - \sigma_1 - Y\)
4. \(0 > \sigma_2 > \sigma_1\) 일 경우: \(\tau_{\max} = -\sigma_1 / 2 = k = Y / 2, \quad f = -\sigma_1 - Y \tag{2.54}\)
5. \(0 > \sigma_1 > \sigma_2\) 일 경우: \(\tau_{\max} = -\sigma_2 / 2 = k = Y / 2, \quad f = -\sigma_2 - Y\)
6. \(\sigma_1 > 0 > \sigma_2\) 일 경우: \(\tau_{\max} = (\sigma_1 - \sigma_2) / 2 = k = Y / 2, \quad f = \sigma_1 - \sigma_2 - Y\)

각 구간별 항복궤적을 도시하면 그림 2.12와 같다. 그림에서 Tresca 항복궤적 역시 볼록함(엄밀히 말하면, 오목하지 않음. 약하게 볼록함)을 알 수 있다. 즉, 궤적 상의 두 점을 연결한 선분은 항복궤적 내부 또는 항복궤적 상에 존재한다.

2.6.4 3차원 문제의 von Mises 항복함수

등방성재료의 항복 현상은 좌표계와 무관하므로 주응력으로 항복함수를 표현하는 것이 바람직하다. 이렇게 할 경우에는 세 개의 전단응력이 0이 되므로 3차원 응력 문제(6개의 응력 성분)이더라도 3차원 공간(주응력축 공간)에서 항복곡면을 표현할 수 있다. 그러나 일반좌표계에서 항복곡면을 표현하려면 여섯 개의 좌표축이 필요하므로 수학적 개념의 가시화는 가능하지만 기하학적 표현은 불가능하다.

먼저, 편차주응력 \(\sigma_1' - \sigma_2' - \sigma_3'\) 좌표계에서 항복곡면을 도시해 보자. von Mises 항복이론으로부터 항복함수 \(f(\sigma_1', \sigma_2', \sigma_3')\) 는

\[f(\sigma_1', \sigma_2', \sigma_3') = \frac{1}{2}(\sigma_1'^2 + \sigma_2'^2 + \sigma_3'^2) - k^2 \tag{2.55}\]

이다. 항복조건 \(f(\sigma_1', \sigma_2', \sigma_3') = 0\) 은 그림 2.13(a)에서 보는 바와 같이 구의 방정식이다.

이제 주응력 \(\sigma_1 - \sigma_2 - \sigma_3\) 좌표계에서 항복곡면을 도시해 보자. 항복함수 \(f(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3)\) 가 다음과 같으므로

\[f(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3) = \frac{1}{6}[(\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2] - k^2 \tag{2.56}\]

3차원 역학 문제의 항복곡면 \(f(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3) = 0\) 은 그림 2.13(b)와 같이 표현된다. 그림에서 보는 바와 같이 항복곡면은 중심축이 원점을 통과하고 중심축의 방향이 \((1, 1, 1)\)인 실린더이다. \(\sigma_1 + \sigma_2 + \sigma_3 = 0\) 인 면을 \(\pi\)면(\(\pi\)-plane)이라고 하고 이 면과 항복곡면이 만나는 궤적을 항복궤적 \(C\)(yield locus \(C\))라고 한다. \(\sigma_3 = 0\) 인 면과 항복곡면이 만나는 궤적은 타원이며, 그림 2.12의 타원과 동일하다.

(a) σ'₁-σ'₂-σ'₃ 좌표계

(b) σ₁-σ₂-σ₃ 좌표계

그림 2.13 3차원 항복곡면 및 항복궤적

어떤 점의 응력상태가 항복곡면 내부에 속할 때 그 점은 탄성영역에 존재하고, 응력상태가 실린더 상에 존재할 때 그 점은 소성영역에 존재한다. 그러나 전술한 바와 같이 항복곡면 외부에는 존재할 수 없다.