A. 텐서량과 지수표현법¶

A.1 기계량 및 텐서량¶

역학에서 주요 해석 대상으로 삼고 있는 기계량(mechanical quantity), 즉 변위, 변형률, 응력, 온도 등은 일반적으로 질점에 따라 다르다. 각 질점의 위치는 좌표(coordinates)에 의하여 결정 또는 정의되므로 연속체의 기계량은 좌표 또는 위치의 함수이다.

좌표는 기준좌표계(reference coordinate system)에 대한 질점의 상대적 위치를 의미한다. 따라서 동일한 점을 표현하더라도 기준좌표계의 형태와 위치에 따라 좌표값은 다르다. 한편 힘, 변위 등을 비롯한 벡터량은 크기와 방향을 가지고 있다. 이러한 벡터의 성질을 표현하는 방법 중 가장 일반적이고 효과적인 것은 기준좌표계에 대한 성분으로 표현하는 방법이다. 응력도 마찬가지다. 따라서 기계량의 정의는 좌표계와 불가분의 관계에 있다.

역학에서 널리 사용하는 좌표계는 직교좌표계(orthogonal coordinate system)이며, 직각좌표계(rectangular coordinate system, Cartesian coordinate system), 원통좌표계(cylindrical coordinate system), 구좌표계(spherical coordinate system) 등이 직교좌표계의 대표적인 예들이다. 편의에 따라 특수 좌표계를 사용할 수도 있다. 그러나 대부분 직각좌표계가 사용되고 있고, 특히 유한요소법을 해법으로 사용할 경우 직각좌표계로 모든 문제들의 해결이 가능하다. 서로 다른 방향을 가진 직각좌표계는 다른 좌표계로 간주된다. 동일 점의 좌표와 그 점에서의 기계량은 서로 다른 좌표계에서 보았을 때 그 수치가 다르며, 두 좌표계 사이에 정의되는 일정한 변환법칙을 따른다. 좌표계에 따라 대상 물체 또는 질점을 표현하는 좌표값과 기계량의 수치는 다르게 표현되지만, 대상 물체의 기하학적 모양과 기계량의 물리적 의미를 변화시키지 않는다는 점을 강조해 둔다.

예제 A.1

그림 A.1에 두 개의 직각좌표계, \(x-y\) 좌표계와 \(x'-y'\) 좌표계를 도시하였다. \(x'-y'\) 좌표계는 \(x-y\) 좌표계를 반시계 방향으로 \(\theta = 30^\circ\) 회전시킨 방향에 놓여 있다. 점 \(P\)의 \(x-y\) 좌표값이 \((2, 4)\)일 때, 점 \(P\)의 \(x'-y'\) 좌표값을 구하라.

풀이

점 \(P\)의 \((x', y')\) 좌표는 \((2+\sqrt{3}, -1+2\sqrt{3})\) 으로 계산된다. 계산 배경은 예제 2.2에서 상술하고 있다. 두 벡터의 절대값, 즉 크기는 \(2\sqrt{5}\) 로 동일하고, 방향도 \(\phi - \phi' = \tan^{-1}(4/2) - \tan^{-1}((-1+2\sqrt{3})/(2+\sqrt{3})) = 30^\circ\)로 좌표계의 방향을 고려하면 동일함을 알 수 있다.

그림 A 1 좌표계와 좌표

전술한 바와 같이 어떤 한 점에서 기계량은 좌표계에 따라 그 수치는 다르게 표현될 수 있지만, 그 기계량들이 갖는 물리적 의미는 동일하다. 모든 기계량은 그 기계량이 속한 그룹의 특징에 따라 특별한 형태의 변환법칙을 따른다. 기계량은 그것이 따르는 변환법칙에 의거하여 스칼라(scalar)량, 벡터(vector)량, 다이아딕(dyadic)량 등으로 분류되고 있다. 예를 통하여 각 양에 관한 이해를 넓혀 가도록 하자.

먼저 온도를 예로 들어 스칼라량을 설명해 보자. 물체의 질점에서 온도는 다를 수 있으므로 온도는 위치의 함수(예를 들면, 2차원 문제의 경우 \(T = T(x,y)\))이다. 그림 A.1에서 점 \(P\)의 온도가 150°C일 경우, \(x-y\) 좌표계와 \(x'-y'\) 좌표계에 대하여 온도는 각각 \(T(2,4) = \text{150°C}\) 와 \(T'(2+\sqrt{3}, -1+2\sqrt{3}) = \text{150°C}\) 로 표현된다. 즉,

\[ T'(2+\sqrt{3}, -1+2\sqrt{3}) = T(2,4) = \text{150°C} \tag{A.1} \]

이다. 여기서 \(T'\) 은 \(x'-y'\) 좌표계 관점에서의 온도를 나타낸다. 식 (A.1)로부터 좌표계가 바뀌어도 150이라는 수치의 변화는 없음을 알 수 있다. 비록 좌표계가 달라져도 한 점에 대한 온도는 동일한 값으로 표현된다는 점을 강조해 두고자 한다. 이러한 범주에 속하는 기계량을 스칼라량이라고 칭한다.

변위와 힘 등은 온도와 다르다. 동일한 변위는 좌표계에 따라 성분이 다르게 표현된다. 변위를 비롯한 벡터량은 크기뿐만 아니라 방향을 가지고 있기 때문이다. 위치벡터를 예로 들어 설명한다. 그림 A.1에서 보는 바와 같이, \(x-y\) 좌표계에서 \((4, 4)\)로 표현되는 위치벡터는 \(x'-y'\) 좌표계에서는 \((2+\sqrt{3}, -1+2\sqrt{3})\) 으로 표현된다. 이 두 벡터는 다음의 관계를 갖는다.

\[ \begin{bmatrix} 2+\sqrt{3} \\ -1+2\sqrt{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix} \tag{A.2} \]

여기서

\[ \mathbf{T} = \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \tag{A.3} \]

는 변환행렬(transformation matrix)이며, 직교단위행렬(orthonormal matrix)이다. 위의 관계식은 모든 벡터량의 좌표변환 목적에 사용될 수 있다. 그러므로 일반적으로 하나의 좌표계에 대한 벡터의 성분을 알고 있다면, 다른 좌표계에 대한 벡터의 성분은 식 (A.2)의 변환관계에 의하여 구해진다.

예제 A.2

식 (A.2)의 일반형을 유도하고 변환행렬 T가 직교단위행렬임을 설명하라.

풀이

그림에서 OA＝OB－AB, OD＝FD＋OF이므로

\[ \begin{bmatrix} P_x \\ P_y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} P_{x'} \\ P_{y'} \end{bmatrix} \tag{a} \]

이다. 따라서

\[ \begin{bmatrix} P_{x'} \\ P_{y'} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} P_x \\ P_y \end{bmatrix} \]

또는

\[ \mathbf{P'} = \mathbf{TP} \tag{b} \]

이다. 식 (b)의 변환행렬 \(\mathbf{T}\)에서 두 개의 행벡터를 내적하면 0이 되고 각 행벡터의 크기는 1이다. 따라서 변환행렬은 직교단위행렬이다. 직교단위행렬의 역행렬은 전치행렬과 동일하므로

\[ \mathbf{T}^{-1} = \mathbf{T}^{\text{T}} \tag{c} \]

이다.

단위면적당 작용하는 힘으로 설명되는 응력은 힘의 크기와 방향뿐만 아니라 면적의 방향과 크기에 의하여 정의되는 기계량이다. 동일한 물리적 의미를 갖는 하나의 응력 상태는 좌표계에 따라 그 성분이 다른 값으로 표현된다. 예를 들면, 그림 A.1의 \(x-y\) 좌표계에서 응력성분이 \(\sigma_{xx} = 110.0\,\text{MPa}\), \(\sigma_{yy} = 50.0\,\text{MPa}\), \(\sigma_{xy} = 40.0\,\text{MPa}\) 이면, \(x'-y'\) 좌표계에 대한 성분은 다음의 관계식에 의하여

\[ \begin{bmatrix} \sigma_{x'x'} & \sigma_{x'y'} \\ \sigma_{y'x'} & \sigma_{y'y'} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \tag{A.4} \]

\(\sigma_{x'x'} = 129.6\,\text{MPa}\), \(\sigma_{y'y'} = 30.4\,\text{MPa}\), \(\sigma_{x'y'} = -6.0\,\text{MPa}\) 이 된다. 이 값들은 예제 A.3에서와 같이 Mohr 원(Mohr's circle)을 이용하여 구할 수도 있다. Mohr 원은 위의 변환관계를 기하학적으로 도시한 것이다.

예제 A.3

\(x-y\) 좌표계에 대한 응력성분이 \(\sigma_{xx} = 110.0\,\text{MPa}\), \(\sigma_{yy} = 50.0\,\text{MPa}\), \(\sigma_{xy} = 40.0\,\text{MPa}\) 일 경우, 주응력과 그림 A.1의 \(x'-y'\) 좌표계에 대한 응력성분을 Mohr 원을 이용하여 구하라.

풀이

Mohr 원의 중심 \((c, 0)\)과 반경 \(r\)은

\[ c = (\sigma_{xx} + \sigma_{yy})/2 = 80.0 \tag{a} \]

\[ r = \left( (\sigma_{xx} - \sigma_{yy})^2 / 4 + \sigma_{xy}^2 \right)^{0.5} = 50.0 \tag{b} \]

이므로

\[ \begin{aligned} \sigma_{x'x'} &= c + r \cos(60^\circ - 53.13^\circ) = 129.6\,\text{MPa} \\ \sigma_{y'y'} &= c - r \cos(60^\circ - 53.13^\circ) = 30.4\,\text{MPa} \\ \\ \sigma_{x'y'} &= -r \sin(60^\circ - 53.13^\circ) = -6.0\,\text{MPa} \end{aligned} \tag{c} \]

이다. 주응력의 크기와 방향은 다음과 같다.

\[ \begin{aligned} \sigma_1 &= c + r = 130.0 \\ \sigma_2 &= c - r = 30.0 \end{aligned} \tag{d} \]

\[ \theta_p = \frac{1}{2} \tan^{-1} (2\sigma_{xy} / (\sigma_{xx} - \sigma_{yy})) = 26.6^\circ \tag{e} \]

따라서 최대주응력축은 \(x\)-축을 반시계 방향으로 \(26.6^\circ\) 회전시킨 방향이다.

앞에서 한 질점에서의 기계량이 서로 다른 두 좌표계에 바탕을 두고 표현되었다면, 두 기계량 간에는 좌표계의 차이에 의하여 정의되는 변환관계를 만족해야 함을 공부하였다. 이러한 변환관계는 뒤에서 보다 상세하게 설명될 것이다. 전술한 변환관계 측면에서 모든 기계량은 동일한 수학적 취급을 받게 되며, 텐서량(tensor quantity)으로 총칭된다. 단지 변환의 형태가 다를 뿐이다. 스칼라량은 식 (A.1)에서 보는 바와 같이 변환행렬이 사용되지 않았으므로 0차 텐서(tensor of order zero)라고 하며, 벡터량은 식 (A.2)에서 보는 바와 같이 하나의 변환행렬에 의한 1차 변환관계를 갖기 때문에 1차 텐서(tensor of order one, first order of tensor)에 속한다. 응력 등은 식 (A.4)에서 보는 바와 같이 두 개의 변환행렬을 사용하는 2차의 변환관계를 갖기 때문에 2차 텐서(tensor of order two)이다. 텐서량에 대한 변환관계는 별도로 상술한다. 여기서 고체역학을 포함하는 연속체역학에서 기계량들은 좌표의 함수로 표현되고 좌표계의 변환 관점에서 수학적으로 동일한 텐서량이라는 점을 강조해 둔다.

예제 A.5

다음의 관계를 이해하라.

풀이

a) \(\delta_{12} = 0\)

b) \(\delta_{22} = 1\)

c) \(\displaystyle\sum_{i=1}^{3} \delta_{ii} = 3\)

d) \(\displaystyle\sum_{j=1}^{3} \delta_{1j} u_j = u_1\)

e) \(\displaystyle\sum_{j=1}^{3} \delta_{ij} u_j = u_i\)

역학 문제의 수식에는 좌표에 관한 편미분항이 빈번히 등장한다. 지수표현법에서는 콤마(,)와 콤마 다음의 지수를 사용하여 편미분을 간결하게 표현한다. 콤마는 편미분 대상함수(기계량의 성분)와 편미분 좌표를 구분한다. 즉, 콤마 앞의 지수는 텐서량의 성분을 나타내는 숫자이며, 콤마 뒤의 지수는 미분 좌표 또는 변수를 지정하는 숫자이다.

예제 A.6

다음의 예를 통하여 편미분 규약을 숙지하라.

풀이

\[ \text{a) } \phi_{,i} = \frac{\partial\phi}{\partial x_i} , \quad \phi_{,2} = \frac{\partial\phi}{\partial x_2} \]

\[ \text{b) } v_{i,j} = \frac{\partial v_i}{\partial x_j} \]

\[ \text{c) } \sigma_{ij,j} = \frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_j} \]

\[ \text{d) } \varepsilon_{ij,kl} = \frac{\partial^2\varepsilon_{ij}}{\partial x_k \partial x_l} \]

\[ \text{e) } x_{i,j} = \frac{\partial x_i}{\partial x_j} = \delta_{ij} \]

\[ \text{f) } \sigma_{ij} w_{i,j} = (\sigma_{ij} w_i)_{,j} - \sigma_{ij,j} w_i = \frac{\partial(\sigma_{ij} w_i)}{\partial x_j} - \frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_j} w_i \]

대부분의 역학 문제의 수식에는 반복합산기호(summation symbol, \(\sum\))가 선행하며, 합산에 사용된 지수는 하나의 항에 두 개가 있는 경우가 대부분이다. 평형방정식

\[ \sum_{j=1}^{3} \sigma_{ij,j} + f_i = 0 \tag{A.7} \]

이 한 예이다. 덧셈규약에서는 두 개의 지수가 한 항에 있으면, 합산기호를 삭제할 수 있다. 이때 이 지수를 단순지수(dummy index)라고 하고, 한 항에 합산기호가 선행되지 않고 한 개의 지수가 있을 경우 이를 자유지수(free index)라고 한다. 단순지수는 그 의미를 잃지 않는다면 다른 지수로 항상 바꿀 수 있는 반면, 자유지수를 바꿀 때는 모든 항의 동일 지수를 동시에 바꾸어 주어야 한다. 그리고 수식의 모든 항에 동일한 자유지수가 반드시 존재해야 한다.

이 책에서는 \(\displaystyle\int_{S_{\sigma_i}} \bar{t}_i u_i \, dS\)와 같이 동일 지수가 한 항에 3회 나타나지만 그 중에서 하나의 지수가 적분영역을 표현하는 데 사용되었다면 덧셈규약을 따르는 것으로 간주한다.

예제 A.7

다음의 수식에서 잘못된 점을 지적하라.

a) \(\sigma_{ij,j} + f_j = 0\)

b) \(\sigma_{ij} = 2\mu\varepsilon_{ij} + \lambda\varepsilon_{ii}\delta_{ij} - (3\lambda + 2\mu)\alpha \, \Delta T \delta_{ij}\)

풀이

a) 첫번째 항에서 \(i\)는 자유지수이고 \(j\)는 단순지수이다. 각 항에 동일한 자유지수가 존재해야 하므로 두번째 항에 반드시 자유지수 \(i\)가 존재해야 한다. 따라서 \(f_j\)에서 하첨자 \(j\)를 \(i\)로 바꾸어야 한다. 즉, \(\sigma_{ij,j} + f_i = 0\)이 올바른 표현이다.

b) 좌변에서 \(i\)와 \(j\)는 자유변수이다. 우변의 첫번째 항과 세번째 항에는 좌변의 항과 동일한 자유변수가 존재하므로 표현상의 문제는 없다. 반면 두번째 항에서 \(i\)가 세 번 반복되었으므로 \(i\)는 자유지수도 단순지수도 아니다. 따라서 \(\varepsilon_{ii}\)를 \(\varepsilon_{kk}\)로 바꾸면 된다(5.3절 참고).

예제 A.8

다음은 고등역학에서 많이 사용되는 덧셈규약의 예들이다. 예제의 이해를 통하여 덧셈규약 및 지수표현법에 익숙해지기 바란다.

풀이

\[ \text{a) } \sigma_{kk} = \sum_{k=1}^{3} \sigma_{kk} = \sigma_{jj} = \sigma_{ii} = \sigma_{11} + \sigma_{22} + \sigma_{33} \, (= \sigma_{xx} + \sigma_{yy} + \sigma_{zz}) \tag{a} \]

\[ \text{b) } \sigma_{ij,j} = \sum_{j=1}^{3} \sigma_{ij,j} = \sigma_{ik,k} = \frac{\partial\sigma_{i1}}{\partial x_1} + \frac{\partial\sigma_{i2}}{\partial x_2} + \frac{\partial\sigma_{i3}}{\partial x_3} \tag{b} \]

\[ \text{c) } u_{i,i} = \sum_{i=1}^{3} u_{i,i} = u_{j,j} = \frac{\partial u_1}{\partial x_1} + \frac{\partial u_2}{\partial x_2} + \frac{\partial u_3}{\partial x_3} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \tag{c} \]

\[ \text{d) } \varepsilon_{ii} = \varepsilon_{11} + \varepsilon_{22} + \varepsilon_{33} = u_{i,i} \tag{d} \]

\[ \text{e) } \delta_{ii} = \sum_{i=1}^{3} \delta_{ii} = \delta_{kk} = 3 \tag{e} \]

\[ \text{f) } \delta_{ij} u_j = \sum_{j=1}^{3} \delta_{ij} u_j = \delta_{i1} u_1 + \delta_{i2} u_2 + \delta_{i3} u_3 = u_i \tag{f} \]

\[ \text{g) } \sigma_{ij} n_i n_j = \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} \sigma_{ij} n_i n_j \tag{g} \]

\[ \text{h) } \sigma_{ij} n_j = \sum_{j=1}^{3} \sigma_{ij} n_j = \sigma_{ik} n_k \tag{h} \]

\[ \text{i) } \varepsilon_{ij} \delta_{ij} = \varepsilon_{ii} \text{ 또는 } \varepsilon_{jj} \tag{i} \]

\[ \text{j) } \mathbf{t}^{(\mathbf{n})} = \sigma_{ij} \mathbf{e}_j = \sigma_{i1} \mathbf{e}_1 + \sigma_{i2} \mathbf{e}_2 + \sigma_{i3} \mathbf{e}_3 \tag{j} \]

\[ \text{k) } x'_i = T_{ij} x_j = T_{i1} x_1 + T_{i2} x_2 + T_{i3} x_3 \tag{k} \]

\[ \text{l) } \int_{S_{\sigma_i}} \bar{t}_i u_i \, dS = \int_{S_{\sigma_1}} \bar{t}_1 u_1 \, dS + \int_{S_{\sigma_2}} \bar{t}_2 u_2 \, dS + \int_{S_{\sigma_3}} \bar{t}_3 u_3 \, dS \tag{l} \]