1 서론

투명한 재료는 빛이 통과할 수 있는 무수히 많은 통로를 갖추고 있다. 금속재료는 최외곽전자의 진동과 자유전자의 운동으로 인하여 불투명하다. 전위, 원자배열 등의 결함, 불순물 등으로 인하여 인접한 질점에서 거동특성은 매우 큰 차이를 보이며, 불확실성이 매우 높다. 원자 크기의 미시적 관점에서 보면, 재료는 불연속이며 거동특성이 시간에 따라서 변한다. 이런 거동특성은 통계학적 처리를 거치지 않으면 사실상 활용이 불가능하다. 결정 정도의 크기 관점에서 보면 그 정도가 많이 개선되겠지만 결정경계면, 불순물, 결정의 방향 등으로 인하여 연속적이고 일정한 재료의 거동특성을 얻기란 불가능하다. 이런 이유로 미시적 접근방법에 의한 공학해석 결과는 실제의 거시적 현상과 다소 차이를 보인다.

관심 영역이 일정 크기 이상이 되면, 재료의 거동특성은 통계학적으로 안정된 상태가 된다. 이러한 거동특성을 거시적 거동특성이라고 한다. 역학의 거시적 접근방법은 물체의 거시적 거동특성의 규명에 초점을 맞추고 있다. 거시적 접근방법은 재료가 연속체 (continuum)라는 가정으로부터 출발한다. 즉, 공학해석 대상 물체는 연속된 질점(particle)들의 집합으로 이루어져 있고, 인접한 질점들이 서로 연결되어 일정한 형태의 연속된 물체를 형성하고 있으며, 각 질점은 재료의 거시적 특성을 따른다고 간주한다. 연속체는 변형 후에도 연속성이 유지되어야 한다. 즉, 변형 전후의 물체의 모든 질점들은 일대일 대응관계에 있어야 한다. 공학해석에서 취급되는 대부분의 물체는 거시적 관점에서 연속체로 간주될 수 있다. 물론 고체도 연속체에 속한다.

소성역학을 포함하는 고체역학은 변위의 관점에서 바라본 변위법(displacement method)과 힘의 관점에서 바라본 힘법(force method)에 의하여 설명되고 있다. 그림 1.1은 변위법의 관점에서 연속체역학 문제를 조명하고 있다(그림에서 (,) 뒤의 하첨자는 그 하첨자의 좌표축에 대한 편미분을 의미하며 모든 수식 지수표현법을 따른다. 부록A참조)). 변위법에서는 변위를 연속체역학의 최종 미지수로 간주하고 다른 기계량들은 변위로부터 파생되는 양으로 취급된다. 연속체역학 문제는 크게 지배방정식, 구성방정식, 변형 관련 수식 등의 3가지 요소들로 구성된다. 지배방정식은 힘의 평형을, 구성방정식은 힘과 변형 등의 관계를, 변형 관련 수식들은 변형의 기하학 즉, 변형률-변위, 변형률속도-속도 등의 관계를 다룬다. 이러한 수식들은 미분방정식으로 표현되므로 유일해(unique solution)를 구하는 데 필요한 경계 및 초기조건을 동반한다.

그림 1.1 연속체역학 문제의 구성

변위법 관점에서 볼 때, 고체역학이란 변위를 구하는데 일차적인 목적을 둔 학문이다. 고체의 변위(displacement)는 크게 강체운동(rigid-body motion)과 변형(deformation)으로 구성된다. 강체운동은 강체병진운동과 강체회전운동으로 구분된다. 강체운동은 강체동역학(rigid-body dynamics)에서 주로 취급된다. 대학교의 저학년 때 배운 동역학은 대부분 강체동역학이다. 강체운동에서 변위는 시간의 함수이며, 가속도 및 운동에너지가 이론의 전개에 큰 영향을 준다. 변형은 변위에서 강체운동을 제외한 나머지를 의미한다. 변형은 질점 간의 상대변위를 유발하며, 시간과 위치의 함수로 표현된다.

변형이 시간의 함수인 문제는 광의의 동역학(진동, 변형체동역학(flexible dynamics))에서 주로 취급되며, 변형이 정적이거나 준정적인 문제는 협의의 고체역학(탄성역학, 소성역학 등)에서 취급된다. 전자에서는 가속도의 영향이 반영되지만, 후자에서는 가속도의 영향을 무시한다. 재료는 종류와 사용환경에 따라 거동이 다르다. 구조용 재료는 탄성범위 내에서 사용되며, 소성가공에서는 탄성변형량에 비하여 훨씬 큰 양의 소성변형을 수반한다. 탄성영역에서의 고체역학을 탄성역학(elasticity)이라고 하고, 소성변형을 동반하는 문제를 다루는 학문 분야를 소성역학(plasticity)이라고 한다.

역학 문제는 일반적으로 초기경계조건 문제로 수식화된다. 소성역학도 예외는 아니다. 경계조건은 필수경계조건(essential boundary condition)과 자연경계조건(natural boundary condition)으로 구분된다. 역학에서 필수경계조건은 기하학적 구속조건에 해당되며, 자연경계조건은 하중과 관련된 경계조건이다. 열전달 문제에서 필수경계조건은 온도가 주어진 경계이며, 자연경계조건은 열전달율이 주어진 경계이다. 일반적으로 경계상의 모든 점은 필수경계조건과 자연경계조건 중 하나에 속한다. 미지수가 변위장 또는 속도장 등과 같이 벡터량일 때, 경계상의 한 점에 대하여 벡터량의 차원 수만큼의 경계조건이 부여된다. 예를들면 3차원 탄성역학 문제에서는 경계상의 한 점에서 모든 좌표축 방향에 대한 경계조건이 부여되어야 하므로 세 개의 경계조건이 독립적으로 주어져야 한다.

전술한 소성역학은 미분방정식을 수치적으로 푸는 것을 전제로 한 것이다. 수치해법이 도입되기 이전에는 소성역학은 해석적 방법에 의한 근사해법이 주류를 형성하였다. 대표적인 해석적 접근방법으로 스라브법, 스립라인법, 상계해법 등이 있다[1.2-1.6]. 이들은 아직도 압연공정 제어와 같이 닫힌 형태의 해(closed-form solution)가 요구되는 문제에 유용하게 사용되고 있다.