4 후크법칙과 소성유동법칙

4.1 인장시험

인장시험은 소재의 거시적 성질을 규명하기 위한 목적으로 널리 사용되고 있다. 그림 4.1은 상온상태의 금속 봉재에 대한 인장시험 곡선의 전형적인 예이다. 가로축은 표점 간의 길이 증가량 \(\Delta l\) 을 표점 간의 초기거리 \(l_0\) 로 나눈 값, 즉 공칭변형률(nominal strain, engineering strain) \(\varepsilon_e\) 이고, 세로축은 현재의 하중 \(P\) 를 초기의 단면적 \(A_0\) 로 나눈 값, 즉 공칭응력(nominal stress, engineering stress) \(\sigma_e\) 이다.

인장시험 곡선에서 최대의 공칭응력을 인장강도(tensile strength) \(\sigma_u\) 라고 하며, 최대공칭변형률(\(\varepsilon_F\)) \(\times 100(\%)\)을 연신율(elongation)이라고 한다. 그리고 초기항복이 발생하는 점 \(Y\) 에 해당하는 공칭응력 \(\sigma_Y\) 를 초기항복응력(initial yield stress) 또는 항복강도(yield strength)라고 한다. 공칭응력 \(\sigma_e\) 와 공칭변형률 \(\varepsilon_e\) 가 선형비례 관계에 있을 때, 선형탄성(linear elastic)이라고 하며, 그 한계공칭응력을 비례한계(proportional limit)라고 한다. 그리고 직선의 기울기 \(E\) 를 탄성계수(modulus of elasticity) 또는 영률(Young's modulus)이라고 한다. 비례한계로부터 초기항복까지를 비선형탄성 영역으로 간주해도 공학적으로 무방하다.

(OP: 선형탄성, PY: 비선형탄성, YF: 소성)

그림 4.1 공칭응력과 공칭변형률 곡선

인장시험 중 시편은 균일하게 늘어나지 않고 국부의 소성변형 영역이 이동되면서 점진적으로 늘어나게 된다. 어떤 부위가 소성변형을 받게 되면 단면이 줄어들고 그만큼 단위면적당 응력이 커지게 된다. 따라서 역학, 즉 응력의 관점에서 보면, 먼저 변형이 발생하여 단면이 감소된 부위가 허약하다. 그런데 소성변형이 발생하면 전위가 발생하며, 일반적으로 전위밀도의 증가에 따라 소재는 변형저항을 일으켜 저항능력이 오히려 커진다. 변형저항에 의한 저항능력의 증가가 단면감소로 인한 저항능력의 감소보다 크면 소성영역은 다른 곳으로 옮겨 간다. 그런데 만약 단면감소로 인한 저항능력 감소가 변형저항에 의한 저항능력의 증가보다 크게 되면(일반적으로 변형저항 능력의 증가율은 변형의 증가에 따라 감소함) 인장시편은 불안정한 상태가 되며, 단면적의 감소로 약해진 부위에서 계속적인 변형이 발생하게 된다. 즉, 네킹(necking)이 발생하게 되어 파단으로 연결된다. 이 때 최대하중이 작용하므로 최대 공칭응력점을 곧 네킹의 시작점으로 간주하고 있다. 인장시편에서 네킹 발생 부위를 역학적으로 예측할 때 유일해(unique solution)를 얻을 수 없다. 그러므로 네킹은 일종의 불안정성 문제(instability problem, bifurcation problem)에 속한다. 네킹이 시작되는 지점에서 최대공칭응력, 즉 인장강도에 도달한다.

일반적으로 인장시험 결과는 공칭응력과 공칭변형률의 관계이다. 실제 역학해석에서는 진응력(true stress)과 진변형률(true strain)의 관계를 필요로 한다.

공칭변형률 \(\varepsilon_e\) 와 진변형률 \(\varepsilon_t\) 가 각각 다음과 같이 정의되므로

\[ \varepsilon_e = \frac{l - l_0}{l_0} = \frac{\Delta l}{l_0} \tag{4.1} \]

\[ \varepsilon_t = \log_e \frac{l}{l_0} = \log_e \left( 1 + \frac{\Delta l}{l_0} \right) \tag{4.2} \]

공칭변형률과 진변형률 사이에는 다음의 관계가 성립한다.

\[ \varepsilon_t = \log_e (1 + \varepsilon_e) \tag{4.3} \]

식 (4.1)과 식 (4.2)에서 \(l\) 은 인장시험 중 현재 시점의 표점 간 거리를 의미한다. 한편 공칭응력 \(\sigma_e\) 와 진응력 \(\sigma_t\) 는 다음과 같이 정의된다.

\[ \sigma_e = \frac{P}{A_0} \tag{4.4} \]

\[ \sigma_t = \frac{P}{A} \tag{4.5} \]

여기서 \(A\) 는 인장시험 중 현재 시점의 단면적이다. 소성변형 시에 금속재료의 부피변화는 무시할 수 있을 정도로 작으므로 이를 무시하면, 항복점과 네킹 시작점 사이에서 다음의 조건이 성립한다.

\[ l_0 A_0 = l A \tag{4.6} \]

식 (4.4), (4.5), (4.6) 등으로부터 다음의 관계식을 유도할 수 있다.

\[ \sigma_t = \frac{P}{A_0} \frac{A_0}{A} = \sigma_e(1+\varepsilon_e) \tag{4.7} \]

이 책에서 하첨자 \(e\) 가 뒤따르지 않는 응력 \(\sigma\) 와 변형률 \(\varepsilon\) 은 각각 진응력 \(\sigma_t\) 와 진변형률 \(\varepsilon_t\) 를 의미한다.

인장시험곡선과 재료의 용도를 생각해 보자. 구조용 재료의 응력은 구조물의 운용 중에 점 \(O\) 주위에 머물러야 한다. 구조물의 설계 시에 안전계수 \(S\) 가 고려되므로 실제 사용영역은 \(\sigma < \sigma_Y / S\) 이내의 범위이다. 소성가공에서는 소성변형에 의존하여 재료를 성형하므로 소성변형이 주 관심사이다. 물론 소성가공에서 탄성회복(springback) 등으로 탄성변형이 문제가 되는 경우가 많기는 하지만 성형공정 자체는 소성변형에 의존한다. 이 두 경우는 \(Y\) 로부터 멀리 떨어져 있는 경우이다. 그러나 설계 목적상 \(Y\) 주위에 존재하도록 하는 경우, 즉 탄성과 소성 및 파괴를 동시에 동반하는 경우도 있다. 기계적 안전장치나 캔의 따개 등이 이에 속한다.

전술한 인장시험은 원주 방향으로의 방향성을 무시할 수 있는 봉재에 관한 것이다. 판재 소재는 그 방향성을 무시할 수 없기 때문에 다소 복잡하다. 그러나 판재는 대부분 스트레칭(stretching)을 이용한 작은 두께의 변형, 즉 네킹 이전까지의 변형을 허용하기 때문에 네킹 이후의 변형을 중시하지 않고 있다.

4.2 후크법칙

후크법칙(Hooke's law, De potentia restitutiva(1678) by R. Hooke)은 물체에 힘을 가했을 때 늘어난 길이와 힘 사이에는 선형적 비례관계가 성립한다는 것이다. 스프링상수가 \(k\) 인 스프링을 예로 들면, 늘어난 길이 \(\delta\) 는 힘 \(P\) 와 다음의 관계에 있다.

\[ \delta = \frac{P}{k} \quad \text{또는} \quad P = k\delta \tag{4.8} \]

봉재 또는 인장시편도 하나의 스프링이다. 역학적 관점에서 봉재와 스프링의 차이는 사실상 없다. 대부분의 구조용 재료의 인장시험곡선에서 인장시편이 늘어난 길이와 하중 간에 직선적으로 변한다고 간주할 수 있는 영역, 즉 후크법칙이 적용되는 영역이 뚜렷하게 존재한다. 그림 4.1의 구간 \(OP\) 가 그것이다. 이 영역에서는 공칭응력과 진응력, 공칭변형률과 진변형률의 차이가 작기 때문에 동일하다고 가정한다. 이 가정은 선형탄성의 출발점이다. 그림 4.1의 응력-변형률 곡선으로부터 단축 하중의 후크법칙은 다음과 같이 표현된다.

\[ \sigma = E\varepsilon \quad \text{또는} \quad \sigma_{xx} = E\varepsilon_{xx} \tag{4.9} \]

따라서 후크법칙은 그림 4.1에서 \(OP\) 구간, 즉 선형탄성영역의 하중-변형 특성을 표현하는 구성방정식이다. 후크법칙의 일반형은

\[ \sigma_{ij} = \sum_{k=1}^{3} \sum_{l=1}^{3} C_{ijkl}\varepsilon_{kl} \tag{4.10} \]

로 표현된다. 여기서 \(C_{ijkl}\) 은 탄성상수(elastic constants)이며, 총 81개의 성분으로 구성된 4차 텐서량이다. 응력과 변형률이 대칭이므로

\[ C_{ijkl} = C_{jikl}, \quad C_{ijkl} = C_{ijlk} \tag{4.11} \]

이다. 이 조건으로부터 독립적인 탄성계수의 수는 36개로 줄어든다. 한편, 변형이 일어난 과정과 무관한 변형에너지밀도함수가 존재하기 위해서는

\[ C_{ijkl} = C_{klij} \tag{4.12} \]

가 만족되어야 하며, 이 조건으로부터 21개의 독립변수만 남게 된다. 식 (4.12)는 Maxwell의 상호작용 원리(Maxwell's reciprocal theorem)와 동등한 의미를 갖는다. 만약 소재가 어떤 특정한 방향에 대하여 탄성역학적으로 대칭이면, 탄성상수의 수는 더 줄게 된다. 가령 하나의 대칭면이 존재할 경우에는 13개로, 세 개의 대칭면이 존재한다면(직교이방성 재료, orthotropic material) 아홉 개로 준다. 하나의 축을 포함하는 모든 면이 대칭면이고 그 이외의 면은 비대칭면인 횡방향등방성 재료(transversely isotropic material)의 경우에는 탄성상수는 다섯 개로 줄며, 모든 면이 대칭면인 등방성 재료(isotropic material)의 탄성상수는 탄성계수 \(E\) 와 포아송비(Poisson's ratio) \(\nu\) 의 두 개로 준다.

탄성역학에서 하중은 기계적 하중(mechanical load)과 열하중(thermal load)으로 구분된다. 금속은 온도가 상승하면 열팽창을 발생시킨다. 따라서 물체의 변형은 기계적 하중에 의한 변형과 열하중에 의한 변형이 복합되어 나타난다. 물론 탄성역학에서는 소변형(small deformation)이란 가정 하에서 두 종류의 변형이 독립적으로 발생하는 것으로 가정한다. 따라서 등방성 재료에 대한 후크법칙은 다음과 같이 요약된다.

\[ \begin{aligned} \varepsilon_{xx} &= \frac{1}{E}[\sigma_{xx} - \nu(\sigma_{yy} + \sigma_{zz})] + \alpha\Delta T \\ \varepsilon_{yy} &= \frac{1}{E}[\sigma_{yy} - \nu(\sigma_{zz} + \sigma_{xx})] + \alpha\Delta T \\ \varepsilon_{zz} &= \frac{1}{E}[\sigma_{zz} - \nu(\sigma_{xx} + \sigma_{yy})] + \alpha\Delta T \\ \varepsilon_{xy} &= \frac{(1+\nu)}{E} \sigma_{xy} \\ \varepsilon_{yz} &= \frac{(1+\nu)}{E} \sigma_{yz} \\ \varepsilon_{zx} &= \frac{(1+\nu)}{E} \sigma_{zx} \end{aligned} \tag{4.13} \]

여기서 \(E, \nu, \alpha\) 는 각각 탄성계수, 포아송비, 열팽창계수이며, \(\Delta T = T - T_0\) 은 온도변화량이다. 포아송비(Poisson's ratio)는 인장시험 시의 선형탄성 범위 이내에서 축방향 법형률과 측방향 변형률 간의 비율의 부이며, 이론적으로 포아송비는 \(-1 \le \nu \le 0.5\) 를 만족해야 한다.

열변형이 없다면, 선형등방성 재료의 성질은 \(E\) 와 \(\nu\) 에 의하여 결정됨을 후크법칙은 말해주고 있다. 한편 식 (4.13)를 응력에 관하여 정리하면,

\[ \sigma_{ij} = 2\mu\varepsilon_{ij} + \lambda \sum_{k=1}^{3} \varepsilon_{kk}\delta_{ij} - (3\lambda + 2\mu)\alpha\Delta T\delta_{ij} \tag{4.14} \]

가 된다. 여기서

\[ \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}, \quad \lambda = \frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \tag{4.15} \]

를 Lamé' 상수라고 한다. 식 (4.14)에서 응력 \(\sigma_{ij}\) 와 변형률 \(\varepsilon_{ij}\) 의 관계를 종종 다음의 형태로 표현한다.

\[ \sigma_{i} = \sum_{j=1}^{6} D_{ij}\varepsilon_{j} \tag{4.16} \]

여기서 탄성행렬(elasticity matrix) \(\mathbf{D}\), 응력 텐서 벡터 \(\sigma_i\), 변형률 텐서 벡터 \(\varepsilon_i\) 는 다음과 같이 정의된다.

\[ \mathbf{D} = \frac{E(1-\nu)}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1 & \gamma & \gamma & 0 & 0 & 0 \\ \gamma & 1 & \gamma & 0 & 0 & 0 \\ \gamma & \gamma & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \beta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \beta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \beta \end{bmatrix}, \quad \sigma_i = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} \\ \sigma_{yy} \\ \sigma_{zz} \\ \sigma_{xy} \\ \sigma_{yz} \\ \sigma_{zx} \end{bmatrix}, \quad \varepsilon_i = \begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} \\ \varepsilon_{yy} \\ \varepsilon_{zz} \\ 2\varepsilon_{xy} \\ 2\varepsilon_{yz} \\ 2\varepsilon_{zx} \end{bmatrix} \tag{4.17} \]

여기서

\[ \gamma = \nu / (1-\nu), \quad \beta = (1-2\nu) / 2(1-\nu) \tag{4.18} \]

이다. 평면응력, 평면변형, 축대칭 문제 등에 관한 후크법칙을 정리해 둘 필요가 있다. 먼저 평면응력에 관한 구성방정식을 유도해 보자. 평면응력에서 \(\sigma_{zz} = \sigma_{zx} = \sigma_{zy} = 0\)이므로, 이 조건을 식 (4.13)에 대입하여 정리하면,

\[ \begin{aligned} \varepsilon_{xx} &= \frac{1}{E}(\sigma_{xx} - \nu\sigma_{yy}) \\ \varepsilon_{yy} &= \frac{1}{E}(\sigma_{yy} - \nu\sigma_{xx}) \\ \varepsilon_{zz} &= -\frac{\nu}{E}(\sigma_{xx} + \sigma_{yy}) \\ 2\varepsilon_{xy} &= \frac{2(1+\nu)}{E}\sigma_{xy} \end{aligned} \tag{4.19} \]

가 되며, 이 식을 응력 텐서 벡터에 대하여 정리하면 다음과 같다.

\[ \begin{bmatrix} \sigma_{xx} \\ \sigma_{yy} \\ \sigma_{xy} \end{bmatrix} = \frac{E}{1-\nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & (1-\nu)/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} \\ \varepsilon_{yy} \\ 2\varepsilon_{xy} \end{bmatrix} \quad \text{또는} \quad \sigma_i = D_{ij}\varepsilon_j \tag{4.20} \]

여기서 \(\mathbf{D}\), \(\sigma_i\), \(\varepsilon_i\) 는 각각 다음과 같이 정의된다.

\[ \mathbf{D} = \frac{E}{1-\nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & (1-\nu)/2 \end{bmatrix}, \quad \sigma_i = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} \\ \sigma_{yy} \\ \sigma_{xy} \end{bmatrix}, \quad \varepsilon_i = \begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} \\ \varepsilon_{yy} \\ 2\varepsilon_{xy} \end{bmatrix} \tag{4.21} \]

마찬가지로 평면변형에서 식 (4.20)과 식 (4.21)에 대응하는 식은 각각 다음과 같다.

\[ \begin{bmatrix} \sigma_{xx} \\ \sigma_{yy} \\ \sigma_{xy} \end{bmatrix} = \frac{E(1-\nu)}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1 & \nu/(1-\nu) & 0 \\ \nu/(1-\nu) & 1 & 0 \\ 0 & 0 & (1-2\nu)/2(1-\nu) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} \\ \varepsilon_{yy} \\ 2\varepsilon_{xy} \end{bmatrix} \tag{4.22} \]

\[ \mathbf{D} = \frac{E(1-\nu)}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1 & \nu/(1-\nu) & 0 \\ \nu/(1-\nu) & 1 & 0 \\ 0 & 0 & (1-2\nu)/2(1-\nu) \end{bmatrix} \tag{4.23} \]

축대칭 문제에서는 영이 아닌 변형률 성분이 \(\varepsilon_{rr}\), \(\varepsilon_{\theta\theta}\), \(\varepsilon_{zz}\), \(\varepsilon_{rz}\) 밖에 없으며, 영이 아닌 응력 성분이 \(\sigma_{rr}\), \(\sigma_{\theta\theta}\), \(\sigma_{zz}\), \(\sigma_{rz}\) 밖에 없다. 따라서 후크법칙을 풀어 쓰면 다음과 같다.

\[ \begin{aligned} \varepsilon_{rr} &= \frac{1}{E}[\sigma_{rr} - \nu(\sigma_{\theta\theta} + \sigma_{zz})] \\ \varepsilon_{\theta\theta} &= \frac{1}{E}[\sigma_{\theta\theta} - \nu(\sigma_{zz} + \sigma_{rr})] \\ \varepsilon_{zz} &= \frac{1}{E}[\sigma_{zz} - \nu(\sigma_{rr} + \sigma_{\theta\theta})] \\ \varepsilon_{rz} &= \frac{(1+\nu)}{E}\sigma_{rz} \end{aligned} \tag{4.24} \]

이 식을 응력 텐서 벡터에 관한 식으로 표현하면 다음과 같다.

\[ \sigma_i = \sum_{j=1}^{3} D_{ij}\varepsilon_j \tag{4.25} \]

여기서

\[ \mathbf{D} = \frac{E(1-\nu)}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1 & \gamma & \gamma & 0 \\ \gamma & 1 & \gamma & 0 \\ \gamma & \gamma & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \beta \end{bmatrix}, \quad \sigma_i = \begin{bmatrix} \sigma_{rr} \\ \sigma_{\theta\theta} \\ \sigma_{zz} \\ \sigma_{rz} \end{bmatrix}, \quad \varepsilon_i = \begin{bmatrix} \varepsilon_{rr} \\ \varepsilon_{\theta\theta} \\ \varepsilon_{zz} \\ 2\varepsilon_{rz} \end{bmatrix} \tag{4.26} \]

이다. 식 (4.110)에서 \(\gamma = \nu/(1-\nu)\), \(\beta = (1-2\nu)/2(1-\nu)\) 이다. 우리는 앞에서 후크법칙은 \(\sigma_i = D_{ij}\varepsilon_j\) 의 일반 형태로 표현되며, 문제에 따라 \(D_{ij}\), \(\sigma_i\), \(\varepsilon_i\)가 다르게 정의됨을 공부하였다. 한편, 초기변형률 \(\varepsilon_j^\circ\) 와 초기응력 \(\sigma_i^\circ\) 를 고려한 후크법칙은 다음과 같이 수식화된다.

\[ \sigma_i = \sum_{j=1}^{3} D_{ij}(\varepsilon_j - \varepsilon_j^\circ) + \sigma_i^\circ \tag{4.27} \]

여기서 열팽창을 초기변형률로 간주한다면, \(\varepsilon_j^\circ\) 와 \(\sigma_i^\circ\) 는 3차원 문제에서는

\[ \varepsilon_j^\circ = \begin{bmatrix} \alpha\Delta T \\ \alpha\Delta T \\ \alpha\Delta T \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \sigma_i^\circ = \begin{bmatrix} \sigma_{xx}^\circ \\ \sigma_{yy}^\circ \\ \sigma_{zz}^\circ \\ \sigma_{xy}^\circ \\ \sigma_{yz}^\circ \\ \sigma_{zx}^\circ \end{bmatrix} \tag{4.28} \]

평면응력 문제에서는

\[ \varepsilon_j^\circ = \begin{bmatrix} \alpha\Delta T \\ \alpha\Delta T \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \sigma_i^\circ = \begin{bmatrix} \sigma_{xx}^\circ \\ \sigma_{yy}^\circ \\ \sigma_{xy}^\circ \end{bmatrix} \tag{4.29} \]

평면변형 문제에서는

\[ \varepsilon_j^\circ = (1+\nu) \begin{bmatrix} \alpha\Delta T \\ \alpha\Delta T \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \sigma_i^\circ = \begin{bmatrix} \sigma_{xx}^\circ \\ \sigma_{yy}^\circ \\ \sigma_{xy}^\circ \end{bmatrix} \tag{4.30} \]

축대칭 문제에서는

\[ \varepsilon_j^\circ = \begin{bmatrix} \alpha\Delta T \\ \alpha\Delta T \\ \alpha\Delta T \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \sigma_i^\circ = \begin{bmatrix} \sigma_{rr}^\circ \\ \sigma_{\theta\theta}^\circ \\ \sigma_{zz}^\circ \\ \sigma_{rz}^\circ \end{bmatrix} \tag{4.31} \]

이다. 전술한 초기변형률은 금형의 열박음 해석 목적으로 사용될 수 있다. 단위부피당 변화량은 체적변화율 \(\varepsilon_v\) 로 정의되며, 변형이 충분히 작다면 \(\varepsilon_v\) 는 법선 변형률의 합으로 정의된다. 따라서 식 (4.24)로부터 \(\varepsilon_v\) 는 다음 식으로 정의된다.

\[ \varepsilon_v = \varepsilon_{ii} = \frac{(1-2\nu)}{E}(\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z) = \frac{3(1-2\nu)}{E}\sigma_m = -Bp \tag{4.32} \]

여기서 \(B\) 를 체적탄성계수로 정의한다. 만약 \(B\) 가 무한대가 되면,

\[ u_{i,i} = 0 \tag{4.33} \]

가 되므로 부피변화는 발생하지 않는다. 그러나 실제의 물체는 다소의 부피변화가 발생한다. 고무는 부피변화가 작아 무시 가능한 것으로 간주되고 있다. 이러한 재료를 비압축성 재료라고 한다. \(B\) 가 무한대가 되기 위해서는 포아송비가 0.5에 근접한다고 간주해야 한다.

한편, 유체역학 및 소성역학에서는 부피변화율속도 \(\dot{\varepsilon}_v\) 가 다음 식으로 정의되며,

\[ \dot{\varepsilon}_v = v_{i,i} \tag{4.34} \]

비압축성 재료의 조건은 다음과 같이 속도 벡터의 발산으로 표현되기도 한다.

\[ v_{i,i} = 0 \tag{4.35} \]

4.3 소성유동법칙

소성유동법칙으로 직교 유동법칙(associated flow rule)과 비직교 유동법칙(non-associated flow rule)이 있다. 전자에서는 변형률속도 텐서가 항복함수의 구배와 비례관계이며, 후자에서는 변형률속도 텐서가 항복함수에 수직하지 않다. 이론의 난이도와 적용성 양면에서 직교 유동법칙이 우월하다. 실제 대부분의 응용 연구가 직교 유동법칙에 집중되어 있다. 비직교 유동법칙이 실용화되는 데는 많은 장벽이 존재한다. 따라서 이 책에서는 직교 유동법칙을 설명한다.

공작물에 하중을 가했을 때 발생하는 전체변형량은 소성변형량과 그 나머지의 차이변형량으로 구성되어 있다. 일반적으로 차이변형량을 탄성변형량이라고 간주해도 큰 무리는 없다. 소성변형은 하중을 제거했을 때 원상태로 복구되지 않으며, 탄성변형은 원상태로 복구된다. 소성가공은 소성변형에 근거한 성형방법이다.

일반적으로 소성가공에서 소성변형량에 비하여 탄성변형량은 작다. 탄성변형량을 무시한 경우를 강소성이라고 부른다. 강소성 이론에서는 탄성변형이 무시되는 반면, 탄소성 이론에서는 탄성변형과 소성변형이 동시에 고려된다. 탄소성은 강소성에 비하여 실제의 현상을 보다 정확하게 반영할 수 있으나, 이론의 이해와 활용이 어렵고 계산시간이 휠씬 많이 소요되는 단점을 지니고 있다. 그리고 잘못 사용했을 때는 예측결과가 오히려 실제의 현상에서 크게 멀어질 수 있다. 즉, 문제에 따라서는 불확실성이 증가한다. 반면, 강소성은 탄성의 영향을 무시한 단점은 있으나 해의 안전성 측면에서 유리하다. 현재 강소성 이론은 체적소성가공(bulk metal forming) 분야에서 공정 적용 단계에 와 있으나, 이 분야에서 탄소성 이론은 강소성 이론에 비하여 그 적용이 많지 않다. 그러나 체적소성가공 분야에서도 점진적으로 탄소성 이론의 적용이 증가할 것이며, 그것은 소성가공품의 요구 정도와 함수 관계에 있다.

von Mises 항복함수는 다음과 같이 표현된다.

\[ f(\sigma_{pq}') = \frac{1}{2} \sum_i \sum_j \sigma_{ij}' \sigma_{ij}' - k^2 \tag{4.36} \]

직교유동법칙은 일반적으로 체적소성가공 문제에 적합한 Drucker의 가설로 설명된다[1.6]. Drucker의 가설에 의하면, 항복곡면은 볼록(convex)해야 하며, 소성변형률의 증분은 항복곡면에 직교해야 한다. 식 (4.36)에서 항복함수 \(f\) 는 볼록하므로 Drucker의 가설을 만족한다. 소성변형률속도가 항복함수에 직교해야 한다는 조건으로부터 다음의 관계가 성립해야 한다.

\[ \Delta\varepsilon_{ij}' = \Delta\lambda \frac{\partial f}{\partial \sigma_{ij}'} = \Delta\lambda \sigma_{ij}' \quad \text{또는} \quad \dot{\varepsilon}_{ij}' = \dot{\lambda} \frac{\partial f}{\partial \sigma_{ij}'} = \dot{\lambda} \sigma_{ij}' \tag{4.37} \]

여기서 \(\Delta\lambda\) 및 \(\dot{\lambda}\) 는 비례상수이다. 식 (3.36)의 유효변형률속도의 정의와 식 (2.37)의 유효응력의 정의로부터

\[ \dot{\lambda} = \frac{3}{2} \frac{\dot{\bar{\varepsilon}}}{\bar{\sigma}} \tag{4.38} \]

가 되어야 하므로, von Mises 항복이론을 따르는 강소성재료의 유동법칙은 다음과 같다.

\[ \sigma_{ij}' = \frac{2}{3} \frac{\bar{\sigma}}{\dot{\bar{\varepsilon}}} \dot{\varepsilon}_{ij}' = \frac{2}{3} \frac{\bar{\sigma}}{\sqrt{\frac{2}{3} \sum_k \sum_l \dot{\varepsilon}_{kl}' \dot{\varepsilon}_{kl}'}} \dot{\varepsilon}_{ij}' \tag{4.39} \]

여기서 강소성 이론에서는 \(\dot{\varepsilon}_{ij} = \dot{\varepsilon}_{ij}^p\) 이다. 식 (4.39)에서 \(\bar{\sigma}\) 는 재료의 성질을 반영하는 것으로 유동응력(flow stress)이라고 일컫는다. 유동응력은 변형률, 변형률속도, 온도, 손상도 등의 함수이며, 실험적 및 이론적으로 구해진다.

직교 유동법칙으로부터 변분원리가 다음과 같이 전개될 수 있다. \(\tilde{v}_i\) 를 가용속도장(kinematically admissible velocity field)이라고 하자. 이 속도장은 필수경계조건과 비압축성 조건을 만족해야 한다. \(\sigma_{ij}\) 와 \(\tilde{\sigma}_{ij}\) 를 각각 실제의 응력과 가용속도장 \(\tilde{v}_i\) 에 상응하는 응력으로 정의하자. 그림 4.2에서 보는 바와 같이 항복곡면의 볼록한 성질(convexity)과 변형률속도의 직교성(normality)으로부터 다음의 관계가 항상 성립한다.

\[ \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} (\tilde{\sigma}_{ij} - \sigma_{ij}) \dot{\tilde{\varepsilon}}_{ij} \ge 0 \tag{4.40} \]

여기서 등식은 \(\tilde{\sigma}_{ij} = \sigma_{ij}\) 일 때만 성립한다. 한편

\[ \begin{aligned} \sum_i \sum_j \int_V \sigma_{ij} \dot{\tilde{\varepsilon}}_{ij} dV &= \sum_i \sum_j \int_V \sigma_{ij} \frac{\partial \tilde{v}_i}{\partial x_j} dV \\ &= \sum_i \sum_j \left[ \int_{S_{t_i}} \bar{t}_i \tilde{v}_i dS + \int_{S_{v_i}} \sigma_{ij} n_j \bar{v}_i dS - \int_V \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} \tilde{v}_i dV \right] \\ &= \sum_i \sum_j \left[ \int_{S_{t_i}} \bar{t}_i \tilde{v}_i dS + \int_{S_{v_i}} \sigma_{ij} n_j \bar{v}_i dS \right] \end{aligned} \tag{4.41} \]

이므로 이 관계식을 식 (4.40)에 대입하면 다음의 부등식을 얻게 된다.

\[ \sum_i \sum_j \int_V \tilde{\sigma}_{ij} \dot{\tilde{\varepsilon}}_{ij} dV - \sum_i \int_{S_{t_i}} \bar{t}_i \tilde{v}_i dS \ge \sum_i \sum_j \int_{S_{v_i}} \sigma_{ij} n_j \bar{v}_i dS \tag{4.42} \]

위 식에서 등식은 \(\tilde{\sigma}_{ij} = \sigma_{ij}\) 일 때 성립한다. 즉, 가용속도장이 정답과 일치할 때, 좌변의 범함수가 최솟값을 갖는다. 그러므로 이 문제는 범함수의 극화 문제, 즉 변분원리로 수식화된다. 한편, 재료가 von Mises 항복이론을 따르고 등방성경화 성질을 가졌다면,

\[ \sum_i \sum_j \tilde{\sigma}_{ij} \dot{\tilde{\varepsilon}}_{ij} = \tilde{\bar{\sigma}} \dot{\tilde{\bar{\varepsilon}}} \tag{4.43} \]

이므로 다음의 범함수를 얻는다.

\[ \phi = \int_V \tilde{\bar{\sigma}} \dot{\tilde{\bar{\varepsilon}}} dV - \sum_i \int_{S_{t_i}} \bar{t}_i \tilde{v}_i dS \tag{4.44} \]

즉, 식 (4.44)를 최소화시키는 가용속도장 \(\tilde{v}_i\) 가 구하고자 하는 해가 된다.

그림 4.2 응력과 변형률속도의 관계

4.4 유동응력

해석결과에 미치는 요소는 소재의 초기조건, 유동응력, 마찰, 속도 등이며, 이것은 기술자가 확보하고 있어야 할 대상 공정에 관한 필수정보이다. 경험적으로 볼 때, 이들 중에서도 유동응력의 영향이 가장 크다. 재료의 소성변형 특성, 즉 유동응력은 다양한 변수들의 영향을 받는다. 탄성 변형률, 소성변형률, 이방성, 변형률속도, 온도, 재결정 및 결정의 크기, 손상도 등이 재료의 소성변형 특성에 영향을 미치는 변수들의 예이다. 이러한 변수들이 유동응력에 미치는 영향, 즉 유동응력과 변수와의 함수 관계는 복잡하며, 그 영향도는 온도에 따라 민감하게 변한다.

그림 4.3 온도, 변형률, 변형률속도가 유동응력에 미치는 영향

그림 4.3은 온도, 변형률, 변형률속도 등이 재료의 유동응력 함수에 미치는 영향을 도시한 것이다. 그림에서 \(T_m\)은 재료의 용융점 온도를 의미한다. 저온에서는 변형률과 변형률속도가 유동응력 함수에 비교적 큰 영향을 미치며, 상온 주위에 이르러 변형률속도의 영향이 작아짐을 알 수 있다. 그리고 상온에서 재결정온도 직전까지는 변형률의 영향이 크고 변형률속도의 영향이 무시할 수 있을 정도로 작은 반면, 재결정온도 이상에서는 변형률의 영향이 작아짐을 알 수 있다. 그래서 일반적으로 상온에서는 변형률 의존 재료, 고온에서는 변형률속도 의존 재료라는 가정 하에서 소성역학 문제가 해결되고 있다.

그림 4.4는 변형률이 유동응력 함수에 미치는 영향을 나타내고 있다. 고온에서는 변형률이 임계치에 이르면, 재결정이 발생하므로 변형률의 증가에 따른 유동응력 함수의 변화가 미미함을 알 수 있다. 저온에서 공업용 재료의 변형률 의존도가 비교적 높다. 그림 4.5는 고온에서 변형률속도가 유동응력 함수에 미치는 영향을 나타내고 있다. 유동응력 함수는 크게 세 구간으로 구성되어 있다. 변형률속도가 일정 이하이거나 일정 크기 이상이라면 변형률속도의 증가에 따라 유동응력은 증가한다. 중간영역에서는 변형률속도의 증가에 따른 유동응력의 변화가 크지 않다. 일반적인 소성가공은 중간영역과 좌측영역에서 이루어지고 있고, 폭발성형과 같은 초고속 가공에서는 변형률속도가 우측의 영역에 속할 수 있다.

그림 4.4 변형률과 유동응력

그림 4.5 고온에서 변형률속도와 유동응력에 미치는 영향

재료가 다르다고 해서 역학적 법칙이 달라지는 것은 없다. 구성방정식과 관련된 소재계수들이 달라질 뿐이다. 소성변형을 받고 있는 재료의 항복응력 \(\bar{\sigma}\) 는 유효변형률 \(\bar{\varepsilon}\), 유효변형률속도 \(\dot{\bar{\varepsilon}}\), 온도 \(T\), 손상도 \(D\), 결정크기 \(G\) 및 미세구조 \(M\) 등의 함수이며, 재료의 기계적 성질 또는 상태를 반영한다. 이 함수를 유동응력(flow stress)이라고 한다.

유동응력이 변형률 및 변형률속도에 의존하지 않는 재료, 즉 유동응력이 일정한 재료를 완전소성(perfectly plastic) 재료라고 하고, 유동응력이 소성변형률 \(\bar{\varepsilon}^p\) 만의 함수, 즉

\[ \bar{\sigma} = \bar{\sigma}(\bar{\varepsilon}^p) \tag{4.45} \]

인 재료를 강소성(rigid-plastic) 재료라고 한다. 점소성(viscoplastic) 재료와 열점소성(thermoviscoplastic) 재료의 유동응력은 각각 다음 식으로 표현된다.

\[ \bar{\sigma} = \bar{\sigma}(\bar{\varepsilon}^p, \dot{\bar{\varepsilon}}^p) \tag{4.46} \]

\[ \bar{\sigma} = \bar{\sigma}(\bar{\varepsilon}^p, \dot{\bar{\varepsilon}}^p, T) \tag{4.47} \]

열점소성 소재의 경우에는 온도가 응력에 영향을 미치므로 온도해석과 유동해석이 동시에 실시되어야 한다. 이러한 해석을 비등온해석(non-isothermal analysis) 또는 연계해석(coupled analysis)이라고 한다. 만약 공정중 온도가 일정하다고 가정하면, 점소성 유동응력이 되며, 이 공정 조건 하에서의 해석을 등온해석(isothermal analysis)이라고 한다.