9 온도 문제의 정의 및 유한요소 수식화¶
9.1 문제의 정의¶
그림 9.1에서 보는 바와 같이 온도해석 대상 물체는 영역 \(V\)와 경계 \(S\)로 구성되어 있다. 경계 \(S\)는 열전달율이 주어진 경계 \(S_q\), 온도가 주어진 경계 \(S_T\), 방사 및 대류 열전달이 일어나는 경계 \(S_e\), 금형-소재의 접촉면 \(S_c\) 등으로 나누어진다. 소재에 가한 에너지(응력동력 \(\sigma_{ij}\dot{\varepsilon}_{ij}\) )의 일정량은 소성열로 방출되고, 나머지는 내부에너지로 저장된다고 간주하며, 접촉면에서 발생한 마찰일은 금형과 소재에 각각 (0~50)% 씩 전달되는 것으로 간주한다. 열전도율, 비열 등은 온도의 함수로 주어진다.
9.2 유한요소 수식화¶
고체의 열전달 현상은 다음과 같은 고체에 대한 열전도방정식으로 수식화된다.
여기서 \(T\) 와 \(t\) 는 각각 온도와 시간을 의미하고, \(k\) 와 \(\rho c\) 는 각각 열전도계수와 열용량을 의미하며, 좌표와 온도의 함수이다. \(Q\) 는 발열율이며, 변형에너지에 기인한 발열율과 기타의 발열원에 기인한 발열율 \(Q_0\) 로 구성되어 있다. 즉, 발열율은
로 표현된다. 발열비율계수 \(C_g\) 는 응력동력 \(\sigma_{ij} \dot{\varepsilon}_{ij}\) 중에서 열로 변환되는 비율을 의미한다. 일반적으로 응력동력의 90%(\(C_g = 0.9\)) 내외는 소성열로 변하고, 그 나머지는 재료의 결정구조 변화, 잔류변형에너지, 전위의 증가 등 내부에너지의 증가에 소요되는 것으로 알려져 있다.
전술한 경계조건은 다음과 같이 수식화된다.
여기서 \(n_i\) 는 외향단위법선벡터이며, \(\bar{T}\), \(T_c\), \(T_w\), \(T_e\) 는 각각 주어진 온도, 접촉하는 물체 표면의 온도, 냉각수의 온도, 주위 환경의 온도를 나타내고, \(h_c\), \(h_q\), \(h_e\) 는 각각 접촉면의 열전달계수, 냉각수와의 대류열전달계수, 주위환경과의 대류열전달계수를 나타낸다. \(\sigma\varepsilon\) 은 Stefan-Boltzmann 상수와 물체의 방사율(emissivity)의 곱이다. \(q_f\) 는 마찰에 의하여 접촉면에서 발생하는 발열율을 나타내며, 다음과 같다.
여기서 \(v_t\) 와 \(\bar{v}_t\) 는 각각 공작물과 금형의 접선방향의 속도 성분이며, \(\sigma_t\) 는 접촉면의 접선응력이다. \(C_f\) 는 0.0에서 0.5 사이의 값을 갖는 상수이며, 경계면에서의 마찰열을 고려해 주기 위한 것이다.
위의 경계치 문제의 약형은 다음과 같다.
유한요소방정식의 자세한 유도 과정과 해법은 참고문헌[1.1]으로 대신한다.
9.3 연계해석¶
냉간과 열간 소성가공 공정 모두 소성열이 발생한다. 일반적으로 냉간에서의 소성열은 소재와 금형의 온도상승을 야기하나 상승된 온도로 인한 유동응력의 변화는 작다고 알려져 있다. 반면, 열간 소성가공에서는 소성열의 발생과 소재-금형간의 열전달에 의한 온도의 변화가 소재의 유동응력에 직접적인 영향을 주게 된다. 즉, 유동해석 문제의 식 (8.3)에서 \(\bar{\sigma}\) 는 온도의 함수이고, 온도해석 문제의 식 (9.1)에서 \(Q\) 는 변형률속도 또는 속도장의 함수이다.
따라서 유동해석 문제와 온도해석 문제가 연계되어 있으므로 이를 연계문제(coupled problem)라고 하고, 연계문제를 해석하고 규명하는 것을 연계해석(coupled analysis) 또는 비등온해석(non-isothermal analysis)이라고 한다. 연계문제를 직접 연립하여 풀거나 변수를 소거하여 푼다는 것은 사실상 불가능하다. 실제 해석 대상인 소재는 하나이지만 금형(펀치 포함)은 최소한 2개이고, 금형이 2개일 때는 온도해석 문제는 3개이며, 유동해석 문제는 1개이기 때문에 수치계산이 사실상 불가능하기 때문이다.
이러한 문제를 해결하기 위하여 그림 9.2에서 보는 바와 같은 온도해석-유동해석 문제의 분리반복수렴기법이 일반적으로 사용되고 있다. 온도해석 문제와 유동해석 문제를 분리하여 독립적으로 풀되, 온도해석 시에 유동해석 결과인 응력동력(stress power, \(\sigma_{ij}\dot{\varepsilon}_{ij}\))을 사용하고, 유동해석 시에 필요한 온도정보는 온도해석 결과를 사용한다. 온도해석 시에 유동장은 변하지 않으며, 유동해석 시에는 온도장이 변하지 않는다. 이러한 수치해석과정을 반복하면, 유동장과 온도장의 변화가 동시에 점진적으로 감소하며, 최종적으로는 수렴해에 도달하게 된다.
연계해석은 소재의 열적 정보와 열적 경계조건 정보를 요구한다. 시뮬레이션 결과는 이러한 열적 정보에 크게 좌우된다. 많은 연구자들이 실험과 해석을 통하여 이에 관하여 연구하고 있으나, 아직 사용자들은 제한된 정보밖에 접할 수 없다. 따라서 사용자 스스로 필요한 열적 정보를 얻기 위한 노력이 지속되어야 한다. 한편, 실제의 공정적용 연구에서는 대부분 등온해석이 실시되고 있다. 등온해석은 공정 중 온도의 변화가 없다고 가정하고 시뮬레이션을 실시하는 것을 일컫는 용어이다. 이 때 소재의 물성치는 소재의 평균온도로부터 구하면 된다. 이러한 소재 정보는 비교적 손쉽게 입수할 수 있다. 경험적으로 볼 때, 등온해석을 실시하여도 금속유동선도 등을 정확하게 예측할 수 있다.
등온해석은 온도의 영향을 무시하여 온도가 일정하다고 가정한 상태에서의 소성유동해석을 의미한다. 단조성이 극히 나쁘거나 특수한 부품의 생산을 위하여 등온을 유지한 상태에서 실시하는 단조를 항온단조라고 하는데, 등온해석을 항온단조와 연결짓지 말아야 한다.
9.4 온도의 근사해법¶
거시적 관점에서의 소성가공 시뮬레이션에서 온도의 해석은 중요할 때가 있지만, 경험적으로 볼 때 대부분의 일반 소성가공 공정의 유동해석에서 온도는 주요 변수가 아니다. 비록 온도가 중요하더라도 온도 예측결과의 신뢰성을 높이는 데는 많은 제약이 따른다. 첫째, 소성가공에서 소재와 금형의 접촉 시의 열전달 현상은 열충격에 가깝다. 이러한 현상을 수치적 방법으로 정확하게 예측하기 위해서는 금형과 소재의 깊이 방향으로 매우 조밀한 요소망이 뒷받침되어야 하지만, 이것은 열전달해석뿐만 아니라 소성유동 계산시간의 급격한 증가를 야기시키기 때문에 현실적이지 않다.
둘째, 비록 방법론적으로 결함이 없다고 하더라도 경계조건을 정확하게 모델링하는 것은 쉬운 일이 아니다. 많은 비용을 투자한다면 보다 나은 정보의 획득이 가능하겠지만, 이를 통하여 얻는 것이 기대 이하이다. 따라서 이러한 열적 정보의 개선 속도는 기대 이하에 머무를 가능성이 높다.
일반적인 열간단조 공정에서 소재가 금형에 접촉한 이후 분리되는 경우가 많지 않다. 그리고 소재가 금형에 접촉한 이후 소재의 표면 온도의 하강과 금형의 표면온도의 상승은 어느 정도는 함수관계에 있다고 가정할 수 있다. 물론 이 함수 관계를 명확하게 알 수 있다면, 소재 관점에서의 비등온해석은 유리하게 될 것이다.
이러한 점을 고려하여 금형에 접촉한 소재의 온도 이력을 고려한 금형 온도의 예측법에 근거한 근사 비등온 소성가공 공정 해석기능이 개발되어 있다[9.1].
일반적으로 비등온해석은 두 문제의 수렴, 즉 소재의 온도해석 및 유동해석 문제의 수렴, 소재와 금형의 온도해석 문제의 수렴에 근거하고 있다. 따라서 엄밀한 수렴해를 구하는데 많은 시간이 소요될 수밖에 없다. 물론 공학해의 계산 목적으로 반복 계산 횟수를 제한하기도 한다.
금형의 온도해석을 하지 않는 대신 금형 온도를 추정하는 근사해법, 즉 소재 중심의 비등온해석 기술이 장점을 가질 수 있다. 물론 이 기법에서는 소재의 실제온도는 물론이고 근사적으로 계산된 금형의 온도 정보를 소재의 절점치로 저장한다. 매 해석스텝마다 접촉면에서 소재의 실제온도의 변화 \(\Delta T_m^i\)를 바탕으로 금형온도 변화의 근사치 \(\Delta T_d^i\) 는 다음과 같이 계산된다.
여기서 \(\alpha\) 는 경험치에 근거한 상수이고, 식 (9.10)에서 '-'는 소재가 냉각되면서 금형의 온도가 상승함을 의미한다. 전술한 기법을 평가하기 위한 목적으로 축대칭 공정에 제안된 기법을 적용하였다. 공정의 주요 정보는 다음과 같다. 소재 종류: SCr420HB; 금형 종류: SKD61; 초기소재 크기: (직경) 8.0, (높이) 12.0mm; 소재 초기온도: 1100°C; 금형 초기온도: 150°C; 마찰법칙: 쿨롱마찰법칙(쿨롱마찰계수, \(\mu=0.2\)).
(a) 소재
(b) 금형
그림 9.3 2차원 및 3차원 비등온 예측결과의 비교
먼저 정상적인 방법으로 구한 그림 9.3(a)의 소재의 온도분포를 고찰해 보자. 2차원 해석결과에서 온도 최대치와 최소치는 각각 1061.0℃와 743.0℃이고, 3차원 해석결과에서 온도 최대치와 최소치는 각각 1059.0℃와 733.0℃이다. 따라서 그 차이는 공학적으로 크지 않으며, 2차원과 3차원의 이론적 배경과 접근방법의 차이와 요소망의 영향 등을 감안하면 무시할 정도이다. 그림 9.3(b)의 금형 온도분포도 마찬가지이다.
그림 9.4는 근사 비등온해석 기법을 적용하여 구한 것이며, \(\alpha=1.0\)과 \(\alpha=1.5\)일 때 정상적인 해와 큰 차이가 없음을 알 수 있다. 반면 \(\alpha=0.5\)와 \(\alpha=2.0\)이 예측한 근사해는 정상해와 다소 차이가 있다.
