3 고체의 변형

3.1 변위와 변형

Newton은 물체를 질점의 집합으로 간주하였다. 일반적으로 실제의 물체는 결정과 결정경계로 이루어져 있고, 결정은 원자의 규칙적 배열로 이루어져 있다. 그러므로 Newton의 가설은 거시적 관점에서 보았을 때 실제의 물체와 흡사하다. 거시적 관점에서 역학 문제의 규명을 위하여 물체를 무수히 많은 질점의 연속된 집합으로 간주한다. 이것을 연속체(Continuum)이라고 한다.

연속체의 변위는 그림 3.1에서 보는 바와 같이 고체의 위치변화를 정량화시킨 것이다. 각 질점 또는 임의의 점에서 변위는 일반적으로 다르다. 따라서 변위 벡터 \(u\)의 각 성분은 위치의 함수이며, 위치는 좌표에 의하여 표현되므로 변위는 좌표의 함수이다. 물론 동적하중이 가해진 계에서의 변위는 시간의 함수이기도 하다. 어떤 물체가 겪을 수 있는 변위는 가해진 힘에 따라 변한다. 가해질 수 있는 힘의 조합이 무한대 개이므로 그 물체가 경험할 수 있는 변위의 수도 무한대 개다. 이러한 변위의 집합을 변위 벡터장 또는 변위장이라고 한다.

변위는 변형과 강체운동으로 구분된다. 변위의 발생에도 불구하고 질점 간의 거리가 변하지 않은 것을 강체운동이라고 한다. 강체운동의 의미는 명확하다. 따라서 사전적으로 형상의 변화라는 의미를 가진 변형은 수학적 또는 역학적으로는 변위에서 강체운동을 제외한 것을 의미한다.

탄성역학, 소성역학, 진동학 등에서는 변형을 중시하는 반면, 강체동역학에서는 변형을 무시하고 있다. 변형체 동역학에서는 둘 다를 중시한다. 탄성역학과 소성역학에서 물체의 전체적인 강체운동은 일반적으로 없지만 부분적으로는 강체운동이 발생하고 있다. 동역학에서는 변형에 의한 변위보다 강체운동에 의한 변위가 휠씬 크기 때문에 변형을 무시하는 때가 많다.

한 질점의 변위는 벡터에 의하여 표현되는 반면, 고체의 변위, 즉 변위장은 각 성분이 실수함수인 벡터함수로 표현된다. 변위장을 최종 미지함수로 간주하여 고체역학 문제를 수식화하는 방법을 변위법이라고 한다. 대부분의 역학 문제는 변위법에 의하여 해결되고 있다. 따라서 변위법에서 역학문제는 평형방정식 또는 운동방정식과 4장에서 공부하는 구성방정식을 만족하는 변위를 변위장에서 찾는 수학적 문제이다. 그 변위는 대부분 유일하며, 진동학에서 공진 현상, 인장시험에서 네킹 현상, 압축변형에서 좌굴 현상 등의 특별한 문제에서는 유일하지 않다.

그림 3.1 변위장의 가시화

3.2 변형구배텐서

그림 3.2는 물체의 변형을 개념화시킨 것입니다. 즉, 그림 3.1을 다른 각도에서 표현한 것입니다. 상태 A는 초기의 변형이 일어나지 않은 상태의 형상을 나타내고 상태 B는 변형이 발생한 상태를 나타냅니다. 일반적인 물체의 변형은 (1) 병진이동(translation), (2) 강체회전(rigid body rotation), (3) 물체의 순수변형(pure stretch) 등이 복합적으로 발생합니다.

그림에서 물체의 변형은 \(XYZ\) 좌표계에서 측정됩니다. 상태 A에서 미소한 선분 \(PQ\), 즉 벡터 \(d\mathbf{X}\)가 물체에 내재되어 있다고 생각합니다. 상태 A에서 점 \(P\)의 위치는 벡터 \(\mathbf{X}\)로 나타냅니다. 점 \(P\)는 상태 A에서 상태 B의 점 \(P'\)로 벡터 \(\mathbf{u}\)만큼 이동합니다. 점 \(P'\)는 벡터 \(\mathbf{x}\)로 나타내며 다음 식으로 나타낼 수 있습니다.

\[\mathbf{x} = \mathbf{X} + \mathbf{u} \tag{3.1}\]

그림 3.2 초기 비변형상태에서 현재 변형상태까지의 물체의 변형

상태 A의 미소선분 \(PQ\) , 즉 벡터 \(d\mathbf{X}\) 는 상태 B에서 \(P'Q'\) , 즉 벡터 \(d\mathbf{x}\) 로 변형한다. 이 때 두 벡터 사이의 관계는 변위구배(deformation gradient) \(\mathbf{F}\) 를 사용하여 다음 식으로 표현할 수 있다.

\[d\mathbf{x}=\mathbf{F}d\mathbf{X}\tag{3.2}\]

또는

\[d\mathbf{x}=\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \mathbf{X}}d\mathbf{X}\tag{3.3}\]

벡터와 행렬 성분으로 표현하면 다음 식과 같다.

\[\begin{bmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial X} & \frac{\partial x}{\partial Y} & \frac{\partial x}{\partial Z} \\ \frac{\partial y}{\partial X} & \frac{\partial y}{\partial Y} & \frac{\partial y}{\partial Z} \\ \frac{\partial z}{\partial X} & \frac{\partial z}{\partial Y} & \frac{\partial z}{\partial Z} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} dX \\ dY \\ dZ \end{bmatrix}\tag{3.4}\]

즉

\[\mathbf{F}=\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \mathbf{X}}\tag{3.5}\]

이다. 변위구배텐서 \(\mathbf{F}\) 는 변형 중에서 병진이동(translation)을 제외한 강체회전과 순수변형을 완전하게 포함하고 있다. 강체회전은 물체에 변형을 일으키지 않으므로 순수변형 성분만이 물체에 변형을 일으키게 된다. 따라서 변위구배 \(\mathbf{F}\)에서 강체회전과 순수변형을 분리하는 과정이 물체의 변형해석을 위해서 필요하다.

3.3 변형률

물체의 변형을 정량화시켜 보자. 변위는 병진운동, 강체운동과 그리고 순수변형으로 구성되어 있다. 순수 강체운동을 하는 물체에는 변형이 발생하지 않으며, 모든 질점 간의 길이가 변화하지 않는다. 따라서 질점 간의 길이의 변화는 물체의 변형을 정량화하는 척도로 사용될 수 있다. 이 절에서는 임의의 점에서 변형을 정량적으로 표현하기 위하여 도입된 변형률(strain)에 관하여 공부한다.

고체가 작은 변형(small deformation)을 받고 있다는 가정 하에서 소변형률텐서 계산에 대하여 살펴보자.

그림 3.3의 2차원 평면상의 점 \(O\)의 변형을 정량화시켜 보자(1차원 변형의 정량화는 4장의 인장시험에 관한 내용으로 대신한다). 이 점에서의 변형은 점 \(O\)에 인접하면서 각각 \(x\)-축과 \(y\)-축에 평행한 선분 \(OC\)와 \(OE\)의 단위길이당 길이변화와 각도 \(\angle EOC\)의 변화로 정량화된다. \(x\)-방향의 선분 \(OC\)의 길이변화율, 즉 단위길이당 길이변화량을

\[\lim_{C \to O}(\overline{O'C'} - \overline{OC}) / \overline{OC} \equiv \varepsilon_{xx}\tag{3.6}\]

라고 정의하고, \(x\)-축과 \(y\)-축의 각도감소량을 다음과 같이 정의한다.

\[\lim_{C, E \to O}(\angle EOC - \angle E'O'C') \equiv 2\varepsilon_{xy}\tag{3.7}\]

그 이외의 변형률 성분 \(\varepsilon_{yy}\), \(\varepsilon_{zz}\), \(\varepsilon_{yz}\), \(\varepsilon_{zx}\), \(\varepsilon_{zy}\), \(\varepsilon_{xz}\) 등도 마찬가지로 정의된다. 3차원 공간상의 한 점에서 변형률은 다음의 행렬 형태로 표현된다.

\[\varepsilon_{ij}, \quad [\varepsilon_{ij}] = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\ \varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} & \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{xz} \\ \varepsilon_{yx} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{yz} \\ \varepsilon_{zx} & \varepsilon_{zy} & \varepsilon_{zz} \end{bmatrix}\tag{3.8}\]

여기서 \(\varepsilon_{ii}\) (\(i\)에 대한 덧셈규약 따르지 않음)는 \(x_i\) -축 방향의 선분의 단위길이당 길이변화량을 의미하며, 법선변형률이다. \(\varepsilon_{ij}\) (\(i \neq j\))는 직교하는 \(x_i\) -축 방향과 \(x_j\) -축 방향의 선분요소의 각도변화량의 1/2을 의미하며, 전단변형률이다. 법선변형률이 양수이면 선분의 길이가 증가한 것을 의미하고, 전단변형률이 양수이면 각도 \(\angle EOC\)가 감소한 것을 의미한다.

그림 3.3 고체의 변형의 정량화

\(x-y-z\) 직각좌표계를 사용하면, 3차원 물체의 한 점에서 변형률 (\(\varepsilon_{xx}, \varepsilon_{yy}, \varepsilon_{zz}, \varepsilon_{xy}, \varepsilon_{yz}, \varepsilon_{zx}\)) 과 변위장 \(\mathbf{u} = [u_x, u_y, u_z]^\text{T}\) 의 관계는 다음과 같다.

\[ \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \quad \text{또는} \quad \begin{aligned} \varepsilon_{xx} &= \frac{\partial u_x}{\partial x} \\ \varepsilon_{yy} &= \frac{\partial u_y}{\partial y} \\ \varepsilon_{zz} &= \frac{\partial u_z}{\partial z} \\ \varepsilon_{xy} &= \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_x}{\partial y} + \frac{\partial u_y}{\partial x} \right) \\ \varepsilon_{yz} &= \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_y}{\partial z} + \frac{\partial u_z}{\partial y} \right) \\ \varepsilon_{zx} &= \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_z}{\partial x} + \frac{\partial u_x}{\partial z} \right) \end{aligned} \tag{3.9} \]

식 (3.9)로부터 변형률은 \(\varepsilon_{ij} = \varepsilon_{ji}\) 임을 알 수 있다. 흔히 \(i \neq j\) 일 때, \(\gamma_{ij} = 2\varepsilon_{ij}\) 로 두고 \(\gamma_{ij}\) 를 공학전단변형률(engineering shear strain)이라고 한다. 이 때 유념해야 할 점은 \(\gamma_{ij}\) 가 2차 텐서량이 아니라는 것이다. 변형률은 2차 텐서이므로 다음의 변환법칙을 따른다.

\[ \varepsilon'_{ij} = \sum_{p=1}^{3} \sum_{q=1}^{3} T_{ip} T_{jq} \varepsilon_{pq} \]

또는

\[ \begin{pmatrix} \varepsilon_{1'1'} & \varepsilon_{1'2'} & \varepsilon_{1'3'} \\ \varepsilon_{2'1'} & \varepsilon_{2'2'} & \varepsilon_{2'3'} \\ \varepsilon_{3'1'} & \varepsilon_{3'2'} & \varepsilon_{3'3'} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} T_{1'1} & T_{1'2} & T_{1'3} \\ T_{2'1} & T_{2'2} & T_{2'3} \\ T_{3'1} & T_{3'2} & T_{3'3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\ \varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} T_{1'1} & T_{2'1} & T_{3'1} \\ T_{1'2} & T_{2'2} & T_{3'2} \\ T_{1'3} & T_{2'3} & T_{3'3} \end{pmatrix} \tag{3.10} \]

그림 3.4에서 보는 바와 같이 \(r-\theta-z\) 원통좌표계에서 변형률 (\(\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, \varepsilon_{r\theta}, \varepsilon_{\theta z}, \varepsilon_{zr}\)) 과 변위 \(\mathbf{u} = [u_r, u_\theta, u_z]^\text{T}\) 의 관계는 다음과 같다.

\[ \begin{aligned} \varepsilon_{rr} &= \frac{\partial u_r}{\partial r} \\ \varepsilon_{\theta\theta} &= \frac{1}{r} \frac{\partial u_\theta}{\partial \theta} + \frac{u_r}{r} \\ \varepsilon_{zz} &= \frac{\partial u_z}{\partial z} \\ \varepsilon_{r\theta} &= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{r} \frac{\partial u_r}{\partial \theta} + \frac{\partial u_\theta}{\partial r} - \frac{u_\theta}{r} \right) \\ \varepsilon_{\theta z} &= \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_\theta}{\partial z} + \frac{1}{r} \frac{\partial u_z}{\partial \theta} \right) \\ \varepsilon_{zr} &= \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_z}{\partial r} + \frac{\partial u_r}{\partial z} \right) \end{aligned} \tag{3.11} \]

그림 3.4 원통좌표계에서 변위

지금까지 소변형률(small strain)을 변형의 기하학적 의미로부터 유도하였다. 이렇게 구한 소변형률텐서는 계산과정이 쉬운 장점은 있으나 병진운동과 강체운동을 포함하고 있으므로 대변형의 경우 오차를 수반하게 되는 문제점이 있다.

이제 물체가 일반적인 대변형(large deformation)을 받고 있는 경우의 변형률을 정확하게 계산하는 방법에 대하여 살펴보자. 3.2절에서 정의한 변형구배텐서를 이용하여 병진운동과 강체운동을 제외한 순수변형성분으로부터 변형률을 수학적으로 정의할 수 있다. 그림 3.2에서 상태 B에서의 미소선분 \(P'Q'\) 의 길이 \(ds\) 를 다음 식과 같이 나타낼 수 있다.

\[ \begin{aligned} ds^2 &= d\mathbf{x} \cdot d\mathbf{x} = (\mathbf{F}d\mathbf{X}) \cdot (\mathbf{F}d\mathbf{X}) = d\mathbf{X}^\text{T}\mathbf{F}^\text{T}\mathbf{F}d\mathbf{X} \\ &= d\mathbf{X} \left( \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \mathbf{X}} \right)^\text{T} \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \mathbf{X}} d\mathbf{X} = d\mathbf{X}\mathbf{C}d\mathbf{X} \end{aligned} \tag{3.12} \]

여기서

\[ \mathbf{C} = \mathbf{F}^\text{T}\mathbf{F} \tag{3.13} \]

이며, \(\mathbf{C}\) 는 Cauchy-Green 텐서이다.

한편, 초기 미소선분 \(PQ\) 의 길이, \(dS\) 는 다음과 같이 표현할 수 있다.

\[ dS^2 = d\mathbf{X}^\text{T}d\mathbf{X} \tag{3.14} \]

미소선분의 길이 \(ds\) 와 \(dS\) 는 병진운동과 강체회전과 무관한 순수한 길이의 변화이므로 순수변형에 의한 변형률을 구하기 위한 적합한 근거를 제공한다. 미소길이의 제곱의 차이는 병진운동과 강체회전과 관계없이 일정하다는 점을 이용하여 다음 식을 유도한다.

\[ \begin{aligned} ds^2 - dS^2 &= d\mathbf{x}^\text{T}d\mathbf{x} - d\mathbf{X}^\text{T}d\mathbf{X} = (\mathbf{F}d\mathbf{X})^\text{T}(\mathbf{F}d\mathbf{X}) - d\mathbf{X}^\text{T}d\mathbf{X} \\ &= d\mathbf{X}^\text{T}\mathbf{F}^\text{T}\mathbf{F}d\mathbf{X} - d\mathbf{X}^\text{T}d\mathbf{X} = d\mathbf{X}^\text{T}(\mathbf{C} - \mathbf{I})d\mathbf{X} \end{aligned} \tag{3.15} \]

여기서

\[ \mathbf{E} = \frac{1}{2}(\mathbf{C} - \mathbf{I}) = \frac{1}{2}(\mathbf{F}^\text{T}\mathbf{F} - \mathbf{I}) \tag{3.16} \]

이고, \(\mathbf{E}\) 는 Green-Lagrange 변형률텐서이며 병진운동과 강체회전에 관계없는 변형률을 제공한다. 한편, 식 (3.1)과 식 (3.5)에서 다음 식을 얻는다.

\[ \mathbf{F} = \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \mathbf{X}} = \frac{\partial (\mathbf{u} + \mathbf{X})}{\partial \mathbf{X}} = \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \mathbf{X}} + \mathbf{I} \tag{3.17} \]

식 (3.17)을 (3.16)에 대입하면 다음과 같다.

\[ \begin{aligned} \mathbf{E} &= \frac{1}{2}(\mathbf{F}^\text{T}\mathbf{F} - \mathbf{I}) = \frac{1}{2} \left[ \left[ \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \mathbf{X}} + \mathbf{I} \right]^\text{T} \left[ \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \mathbf{X}} + \mathbf{I} \right] - \mathbf{I} \right] \\ &= \frac{1}{2} \left[ \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \mathbf{X}} + \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \mathbf{X}} \right)^\text{T} + \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \mathbf{X}} \right)^\text{T} \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \mathbf{X}} \right] \end{aligned} \tag{3.18} \]

식 (3.18)에서 2차항을 생략하면 식 (3.19)의 소변형률 텐서가 된다.

\[ \mathbf{E} = \frac{1}{2} \left[ \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \mathbf{X}} + \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \mathbf{X}} \right)^\text{T} \right] \tag{3.19} \]

즉 식 (3.19)는 병진운동과 강체운동에 독립적인 Green-Lagrange 변형률의 근사형이며 병진운동과 강체운동에 독립적이지 않음을 알 수 있다.

Green-Lagrange 변형률텐서는 길이의 제곱의 차를 기반으로 하기 때문에 대변형 시에는 진변형률과는 차이가 많이 발생하게 된다. 따라서 진변형률을 구하는 방법이 필요하다. 변형구배텐서 \(\mathbf{F}\) 는 극분해(polar decomposition)정리[3.1]를 이용하면 회전텐서(rotation tensor) \(\mathbf{R}\) 와 우신장텐서(right stretch tensor) \(\mathbf{U}\) 의 곱으로 다음 식과 같이 표현된다.

\[ \mathbf{F} = \mathbf{RU} \tag{3.20} \]

여기서 \(\mathbf{R}\) 은 직교 (\(\mathbf{R}^\text{T}\mathbf{R} = \mathbf{I}\)) 회전텐서이며 \(\mathbf{U}\) 는 대칭인 순수변형을 나타내는 신장텐서이다.

Cauchy-Green 텐서 \(\mathbf{C}\) 와 우신장텐서 \(\mathbf{U}\) 의 관계를 다음 식으로 표현할 수 있다.

\[ \mathbf{C} = \mathbf{F}^\text{T}\mathbf{F} = (\mathbf{RU})^\text{T}\mathbf{RU} = \mathbf{U}^\text{T}\mathbf{R}^\text{T}\mathbf{RU} = \mathbf{U}^\text{T}\mathbf{U} = \mathbf{U}^2 \tag{3.21} \]

식 (3.21)과 신장텐서의 특성을 이용하여 진변형률은 다음과 같이 구할 수 있다.

\[ \pmb{\varepsilon} = \ln \mathbf{U} = \frac{1}{2} \ln \mathbf{C} \tag{3.22} \]

이렇게 구한 진변형률 \(\pmb{\varepsilon}\) 은 강체회전에 독립적이며 물체의 신장에만 의존하기 때문에 변형해석에 적합하다.

3.4 속도장과 변형률속도

변위장은 위치와 시간의 함수이다. 변위장을 시간으로 미분함으로써 속도장을 다음과 같이 구할 수 있다.

\[ \mathbf{v} = \frac{d\mathbf{u}}{dt}, \quad v_i = \frac{du_i}{dt} \quad \text{또는} \quad v_i = \dot{u}_i \tag{3.23} \]

여기서 속도장 \(v_i\) 에 의하여 변위가 \(\Delta t\) 동안 발생하였다고 가정하자. 단, \(\Delta t\) 는 이 시간 동안 속도의 변화를 무시할 수 있고 충분히 작은 변형을 야기시킨다고 가정한다. 그러면 \(u_i = v_i \Delta t\) 가 되므로 이 시간 동안 증가된 변형률 증분 \(\Delta \varepsilon_{ij}\) 와 \(d\varepsilon_{ij}\) 는 각각 다음과 같다.

\[ \begin{aligned} \Delta \varepsilon_{ij} &= \frac{1}{2} \left( \frac{\partial (v_i \Delta t)}{\partial x_j} + \frac{\partial (v_j \Delta t)}{\partial x_i} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i} \right) \Delta t \\ d\varepsilon_{ij} &= \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i} \right) dt \end{aligned} \tag{3.24} \]

한편, 속도구배 텐서, \(\frac{\partial v_i}{\partial x_j}\) 의 대칭부분

\[ \dot{\varepsilon}_{ij} \equiv \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i} \right) \tag{3.25} \]

을 변형률속도(strain rate)라고 부른다. 변형률속도는 2차 텐서량에 속한다. 시간 매개변수(time parameter) \(t\)는 가상의 시간을 의미하며, 경우에 따라 실제의 시간으로 간주될 수도 있다. 가령 속도의 영향이 없다고 가정한 소성가공 공정의 해석 시에 실제 공정의 속도를 입력하지 않았다면 \(t\)는 가상의 시간이며, 점소성 문제를 풀 때는 속도가 공정에 영향을 미치므로 \(t\)는 실제 시간의 의미를 지닌다.

일반적으로 \(\varepsilon_{ij} \neq \int_0^t \dot{\varepsilon}_{ij} dt\) 이다. 주변형률축이 변위장의 발생과 함께 변하기 때문이다.

3.5 주변형률, 주변형률속도, 불변치

변형률과 변형률속도는 2차 텐서량이다. 따라서 응력 텐서와 마찬가지로 변형률 텐서 \(\varepsilon_{ij}\) 와 변형률속도 텐서 \(\dot{\varepsilon}_{ij}\) 에 관한 다음의 고유치 문제로부터

\[ \sum_{j=1}^{3} \varepsilon_{ij}n_j = \varepsilon n_i \quad \text{또는} \quad \begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} & \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{xz} \\ \varepsilon_{yx} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{yz} \\ \varepsilon_{zx} & \varepsilon_{zy} & \varepsilon_{zz} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \end{bmatrix} = \varepsilon \begin{bmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \end{bmatrix} \tag{3.26} \]

\[ \sum_{j=1}^{3} \dot{\varepsilon}_{ij}n_j = \dot{\varepsilon} n_i \quad \text{또는} \quad \begin{bmatrix} \dot{\varepsilon}_{xx} & \dot{\varepsilon}_{xy} & \dot{\varepsilon}_{xz} \\ \dot{\varepsilon}_{yx} & \dot{\varepsilon}_{yy} & \dot{\varepsilon}_{yz} \\ \dot{\varepsilon}_{zx} & \dot{\varepsilon}_{zy} & \dot{\varepsilon}_{zz} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \end{bmatrix} = \dot{\varepsilon} \begin{bmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \end{bmatrix} \tag{3.27} \]

세 개의 주변형률 \(\varepsilon = \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3\) 및 주변형률속도 \(\dot{\varepsilon} = \dot{\varepsilon}_1, \dot{\varepsilon}_2, \dot{\varepsilon}_3\) 가 정의된다. 변형률과 변형률속도가 2차 텐서량이므로 다음의 불변치가 정의된다.

\[ L_1 = \sum_{i=1}^{3} \varepsilon_{ii} = \varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy} + \varepsilon_{zz} \tag{3.28} \]

\[ L_2 = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} (\varepsilon_{ij}\varepsilon_{ji} - \varepsilon_{ii}\varepsilon_{jj}) = -\varepsilon_{xx}\varepsilon_{yy} - \varepsilon_{yy}\varepsilon_{zz} - \varepsilon_{zz}\varepsilon_{xx} + \varepsilon_{xy}^2 + \varepsilon_{yz}^2 + \varepsilon_{zx}^2 \tag{3.29} \]

\[ L_3 = |\varepsilon_{ij}| = \varepsilon_{xx}\varepsilon_{yy}\varepsilon_{zz} + 2\varepsilon_{xy}\varepsilon_{yz}\varepsilon_{zx} - \varepsilon_{xx}\varepsilon_{yz}^2 - \varepsilon_{yy}\varepsilon_{zx}^2 - \varepsilon_{zz}\varepsilon_{xy}^2 \tag{3.30} \]

\[ \dot{L}_1 = \sum_{i=1}^{3} \dot{\varepsilon}_{ii} = \dot{\varepsilon}_{xx} + \dot{\varepsilon}_{yy} + \dot{\varepsilon}_{zz} \tag{3.31} \]

\[ \dot{L}_2 = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} (\dot{\varepsilon}_{ij}\dot{\varepsilon}_{ji} - \dot{\varepsilon}_{ii}\dot{\varepsilon}_{jj}) = -\dot{\varepsilon}_{xx}\dot{\varepsilon}_{yy} - \dot{\varepsilon}_{yy}\dot{\varepsilon}_{zz} - \dot{\varepsilon}_{zz}\dot{\varepsilon}_{xx} + \dot{\varepsilon}_{xy}^2 + \dot{\varepsilon}_{yz}^2 + \dot{\varepsilon}_{zx}^2 \tag{3.32} \]

\[ \dot{L}_3 = |\dot{\varepsilon}_{ij}| = \dot{\varepsilon}_{xx}\dot{\varepsilon}_{yy}\dot{\varepsilon}_{zz} + 2\dot{\varepsilon}_{xy}\dot{\varepsilon}_{yz}\dot{\varepsilon}_{zx} - \dot{\varepsilon}_{xx}\dot{\varepsilon}_{yz}^2 - \dot{\varepsilon}_{yy}\dot{\varepsilon}_{zx}^2 - \dot{\varepsilon}_{zz}\dot{\varepsilon}_{xy}^2 \tag{3.33} \]

여기서 \(L_1\) 과 \(\dot{L}_1\) 의 물리적 의미는 각각 체적변화율과 체적변화율속도이다. 만약 소재가 비압축성이라면, 이 값이 0이 되어야 한다. 따라서 비압축성 조건은 다음 식으로 표현된다.

\[ L_1 = \sum_{i=1}^{3} \varepsilon_{ii} = 0, \quad \dot{L}_1 = \sum_{i=1}^{3} \dot{\varepsilon}_{ii} = 0 \tag{3.34} \]

유효변형률 \(\bar{\varepsilon}\) 와 유효변형률속도 \(\dot{\bar{\varepsilon}}\) 는 다음과 같이 정의된다.

\[ \bar{\varepsilon} = \sqrt{\frac{2}{3} \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} \varepsilon'_{ij}\varepsilon'_{ij}} = \frac{\sqrt{2}}{3} \left[ (\varepsilon_{xx} - \varepsilon_{yy})^2 + (\varepsilon_{yy} - \varepsilon_{zz})^2 + (\varepsilon_{zz} - \varepsilon_{xx})^2 + 6(\varepsilon_{xy}^2 + \varepsilon_{yz}^2 + \varepsilon_{zx}^2) \right]^{\frac{1}{2}} \tag{3.35} \]

\[ \dot{\bar{\varepsilon}} = \sqrt{\frac{2}{3} \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} \dot{\varepsilon}'_{ij}\dot{\varepsilon}'_{ij}} = \frac{\sqrt{2}}{3} \left[ (\dot{\varepsilon}_{xx} - \dot{\varepsilon}_{yy})^2 + (\dot{\varepsilon}_{yy} - \dot{\varepsilon}_{zz})^2 + (\dot{\varepsilon}_{zz} - \dot{\varepsilon}_{xx})^2 + 6(\dot{\varepsilon}_{xy}^2 + \dot{\varepsilon}_{yz}^2 + \dot{\varepsilon}_{zx}^2) \right]^{\frac{1}{2}} \tag{3.36} \]

3.6 평면변형 문제와 축대칭 문제

변형률 텐서 또는 변형률속도 텐서의 성분에서 어떤 하나의 방향에 대한 성분이 모두 0일 때, 평면변형(plane strain)이라고 한다. 편의상 그 방향을 \(z(x_3)\) -축 방향이라고 가정하자. 평면변형일 때의 변위와 속도는

\[ u_x = u_x(x, y), \quad u_y = u_y(x, y), \quad u_z = 0 \tag{3.37} \]

\[ v_x = v_x(x, y), \quad v_y = v_y(x, y), \quad v_z = 0 \tag{3.38} \]

이며, 변형률 및 변형률속도 텐서는 다음과 같이 축약되어 표현된다.

\[ [\varepsilon_{ij}] = \begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} & \varepsilon_{xy} \\ \varepsilon_{yx} & \varepsilon_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} \\ \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} \end{bmatrix} \tag{3.39} \]

\[ [\dot{\varepsilon}_{ij}] = \begin{bmatrix} \dot{\varepsilon}_{xx} & \dot{\varepsilon}_{xy} \\ \dot{\varepsilon}_{yx} & \dot{\varepsilon}_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dot{\varepsilon}_{11} & \dot{\varepsilon}_{12} \\ \dot{\varepsilon}_{21} & \dot{\varepsilon}_{22} \end{bmatrix} \tag{3.40} \]

공학적으로 평면변형 문제에 속하는 대표적인 문제는 댐과 박판압연이다. 댐은 길이방향으로의 변위가 물이 흘러가는 방향에 비하여 작다. 박판압연에서는 폭퍼짐량이 작기 때문에 식 (3.38)의 가정이 공학적으로 유용하다. 따라서 평면변형 문제에 속한다. 소성가공 공정의 2차원 해석은 주로 평면변형 문제의 가정 하에서 실시되고 있다. 평면변형 문제는 \(z(x_3)\) -축 방향으로 재료의 유동이 발생하지 않는다는 가정에 바탕을 둔 것이다.

축대칭 문제는 3차원 문제 중에서도 특이한 문제에 속한다. 축대칭 문제란 기하학적으로 축대칭이어야 하고, 하중 및 경계조건 등 역학적인 면에서도 축대칭이어야 하며, 재료의 측면에서도 축대칭이어야 한다. 전술한 바와 같이 축대칭의 조건이 까다롭기는 하지만, 공학해석 문제에서 축대칭 문제로 간주될 수 있는 문제는 많다. 축대칭 문제는 일반적으로 \(r-\theta-z\) 원통좌표계로 수식화되고 있다. 그림 3.5(a)는 원통좌표계에서 변위 벡터 \([u_r, u_\theta, u_z]^\text{T}\) 를 정의하고 있다. 축대칭 조건하에서는 원주방향의 변위는 없으며, 다른 변위 성분도 원주방향의 좌표 \(\theta\) 의 함수가 아니다. 즉,

\[ u_r = u_r(r, z), \quad u_\theta = 0, \quad u_z = u_z(r, z) \tag{3.41} \]

이다. 따라서 0이 아닌 변형률 성분과 변위의 관계는 다음과 같다.

\[ \begin{bmatrix} \varepsilon_{rr} \\ \varepsilon_{\theta\theta} \\ \varepsilon_{zz} \\ \varepsilon_{rz} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\partial u_r}{\partial r} \\ \frac{u_r}{r} \\ \frac{\partial u_z}{\partial z} \\ \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_r}{\partial z} + \frac{\partial u_z}{\partial r}\right) \end{bmatrix} \tag{3.42} \]

마찬가지로 변형률속도 성분과 속도의 관계는 다음과 같다.

\[ \begin{bmatrix} \dot{\varepsilon}_{rr} \\ \dot{\varepsilon}_{\theta\theta} \\ \dot{\varepsilon}_{zz} \\ \dot{\varepsilon}_{rz} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\partial v_r}{\partial r} \\ \frac{v_r}{r} \\ \frac{\partial v_z}{\partial z} \\ \frac{1}{2}\left(\frac{\partial v_r}{\partial z} + \frac{\partial v_z}{\partial r}\right) \end{bmatrix} \tag{3.43} \]

축대칭 문제는 그림 3.5(b)에서 보는 바와 같이 변위장 \(u_r\) 과 \(u_z\) 또는 속도장 \(v_r\) 과 \(v_z\) 에 의하여 결정된다. 따라서 해석영역은 2차원 평면이지만 실제 계산에서는 \(r\) -좌표에 의하여 자동으로 체적이 고려된다.

(a) 3차원 문제 (b) 축대칭 문제

그림 3.5 원통좌표계에서 변위 벡터의 정의와 축대칭 문제

3.7 변형률속도의 이상화

변형률속도는 하중을 제거하였을 때 회복되지 않는 양 (\(\dot{\varepsilon}_{ij}^p\))과 그 이외의 양 (\(\dot{\varepsilon}_{ij}^d\)) 으로 구분된다. 즉,

\[ \dot{\varepsilon}_{ij} = \dot{\varepsilon}_{ij}^p + \dot{\varepsilon}_{ij}^d \tag{3.44} \]

로 표현되며, \(\dot{\varepsilon}_{ij}^p\) 와 \(\dot{\varepsilon}_{ij}^d\) 를 각각 소성변형률속도(plastic strain rate) 성분과 차이변형률속도(difference strain rate) 성분이라고 한다. 소성변형률속도 성분의 기하학적 의미는 회복되지 않는 변형으로 명확하게 설명된다. 반면 차이변형률속도 성분은 탄성, 크립(creep) 등의 거시적 관점에서 불명확한 요소 등을 포함하므로 다소 포괄적인 의미로 사용된다. 대부분 차이변형률속도 성분을 탄성변형률속도 성분이라고 간주하거나 무시하고 있다. 이 때, 전자인 경우, 즉

\[ \dot{\varepsilon}_{ij}^d = \dot{\varepsilon}_{ij}^e \tag{3.45} \]

라고 가정한 경우를 탄소성(elastoplastic)이라고 하고, 후자인 경우, 즉

\[ \dot{\varepsilon}_{ij}^d = 0 \tag{3.46} \]

라고 가정한 경우를 강소성(rigid-plastic)이라고 한다. 따라서 강소성 이론에서 \(\dot{\varepsilon}_{ij}\) 와 \(\dot{\bar{\varepsilon}}\) 는 각각 \(\dot{\varepsilon}_{ij}^p\) 와 \(\dot{\bar{\varepsilon}}^p\) 를 의미한다.