5 경계조건과 마찰

5.1 경계조건

지배방정식이 미분방정식이라면 유일해를 얻기 위하여 경계조건 또는 초기조건이 필수적이다. 경계조건은 두 종류로 나누어진다. 지배방정식이 \(2p\)차의 미분방정식이라면, \(0\)차에서 \(p-1\)차까지의 미분항 또는 도함수가 포함된 경계조건을 필수경계조건이라고 하고, \(p\)차부터 \(2p-1\)차까지의 도함수가 포함된 경계조건을 자연경계조건이라고 한다. 상미분방정식의 경계조건은 점에서 실수값으로 주어지고, 편미분방정식일 때는 경계를 정의역으로 하는 함수로 주어진다.

탄성역학 문제에서 필수경계조건은 변위(각도 포함)와 관련된 기하학적 조건이며, 자연경계조건은 힘(모멘트 포함)과 관련된 역학적 경계조건이다. 소성역학 문제에서 필수경계조건은 속도와 관련된 기하학적 조건이며, 자연경계조건은 힘과 관련된 역학적 경계조건이다. 열전달 문제에서 온도가 주어진 경계는 필수경계조건이고 열전달율이 주어진 경계는 자연경계조건이다.

경계의 한 점에는 (미지수의 수 \(\times p\))만큼의 경계조건이 부과된다. 가령 온도분포를 구하는 문제에서는 1차원 직선, 2차원 평면, 3차원 공간 모두 하나의 점 또는 좌표에서 미지수의 수는 하나이다. 그러므로 기하학적 차원과 무관하게 하나의 점에 하나의 경계조건이 부과된다. 그러나 변위 또는 속도가 2차 미분방정식의 미지함수로 수식화되는 역학 문제에서는 그렇지 않다. 2차원 평면의 한 점에서 두 개의 변위 또는 속도 성분이 미지수이고, 3차원 공간의 한 점에서 세 개의 변위 및 속도 성분이 미지수이다. 따라서 이러한 부류의 문제에서는 차원 수만큼의 경계조건이 하나의 점에 부과되어야 한다.

한편 소성가공 공정의 해석에서 마찰은 공정의 특성을 결정짓는 주요인자 중의 하나이다. 압연공정에서 롤과 소재 간의 적절한 마찰응력은 필수적이다. 그러나 과도한 마찰응력은 압하력을 증가시키고 롤의 마모를 가속화시키므로 적절히 통제되어야 한다. 단조 공정에서 마찰은 금속유동(metal flow)의 형태를 결정짓는 역할을 하지만 금형의 마모수명을 떨어뜨리므로 적절히 통제되어야 한다. 냉간가공에서는 변형저항이 크기 때문에 윤활제를 사용하는 것이 일반화되어 있다. 열간에서도 극심한 금형의 마모를 줄이기 위하여 흔히 윤활제를 사용하고 있다. 마찰에 영향을 미치는 주요 인자에는 접촉면의 압력, 윤활상태, 상대속도, 온도, 소재의 성질, 조도 등이 있다. 소성가공에서 마찰면은 고온고압의 극한 상황이므로 마찰 인자가 마찰응력에 미치는 영향을 정확히 분석하기란 쉽지 않으며, 물리학, 재료학, 소성역학 등의 주요 관심사 중의 하나이다.

5.2 전통적 마찰조건

마찰응력은 그 크기와 방향으로 정의된다. 마찰은 두 물체의 운동을 저지하는 방향으로 작용한다. 마찰응력의 크기는 두 접촉면이 상대운동을 할 때 접촉면에 작용하는 법선응력과 함수관계에 있다. 그림 5.1에서 보는 바와 같이, 일반적으로 법선응력이 일정한 값 이하에서는 마찰응력은 법선응력에 비례하며, 그 일정값 이상이 되면, 법선응력에 대한 마찰응력의 의존성이 떨어지는 것으로 알려져 있다. 물론 법선응력이 커지면 사실상 접착 상태에 이르거나 마찰응력에 의하여 소성변형이 발생하기 때문에 큰 법선응력 하에서 마찰의 크기를 논하는 것은 다소 논란의 소지가 따른다.

그림 5.1 법선응력과 마찰응력[5.1]

마찰은 접촉면에 작용하는 압력, 상대속도, 온도, 마찰면의 거칠기 상태, 재료의 성질 등의 함수로 복잡함에 틀림없다. 소성역학에서는 마찰응력을 전통적으로 쿨롱마찰법칙(law of Coulomb friction)과 일정전단마찰법칙(law of constant shear friction)으로 수식화하고 있다. 최근에는 이 두 마찰법칙을 보완한 하이브리드마찰법칙(law of hybrid friction) 등이 적용되기도 한다. 그림 5.2에서 보는 바와 같이 쿨롱마찰모델에서는 접촉면에서 상대적인 운동이 발생한다면 마찰응력이 법선응력에 비례한다고 간주하는 반면, 일정전단마찰법칙에서는 전단항복응력의 일정비율의 전단응력이 작용한다고 간주한다. 만약 마찰면에서 미끄러짐이 발생하지 않으면, 실제 접촉면에 작용하는 전단응력은 계산된 전단응력(쿨롱마찰법칙에서는 법선응력과 마찰계수의 곱, 일정전단마찰법칙에서는 전단항복응력과 마찰상수의 곱)보다 작다.

한편, 일정전단마찰법칙에서는 마찰응력이 법선응력과 무관하게 결정된다. 분명한 것은 마찰응력이 법선응력과 유관하므로 일정전단마찰법칙에 비하여 쿨롱마찰법칙 또는 이로부터 파생된 마찰법칙이 실제의 현상을 더 잘 반영할 것이다. 하지만, 일정전단마찰법칙이 이론적으로 단순하고 수치적 안정성 등의 이유로 널리 사용되고 있다. 마찰에 민감한 상온 링압축시험에서는 이 두 법칙이 유사한 결과를 예측함은 틀림없다. 그러나 이를 바탕으로 일정전단마찰법칙을 정정당화하기에 앞서 링압축의 경우 마찰면에서의 응력분포의 차이가 일반단조에 비하여 상대적으로 크지 않다는 점을 상기해야 한다. 압출이나 인발 공정에서도 비교적 법선응력의 변화가 크지 않기 때문에 두 마찰법칙은 유사한 결과를 예측한다. 그러나 열간압연이나 형상이 복잡한 열간단조에서는 정반대의 현상이 발생한다. 이에 관한 상세 내용은 제5.7절에서 다룬다.

그림 5.2 주요 마찰법칙

쿨롱마찰법칙과 일정전단마찰법칙을 수식화하면 다음과 같다.

(가) 쿨롱마찰법칙

\[ \sigma_t = -\mu \sigma_n g(v_t - \bar{v}_t) \tag{5.1} \]

(나) 일정전단마찰법칙

\[ \sigma_t = mk g(v_t - \bar{v}_t) \tag{5.2} \]

여기서 \(\mu\), \(m\), \(k\) 는 각각 마찰계수, 마찰상수, 전단항복응력(\(k = Y/\sqrt{3}\))이다. \(g(v_t - \bar{v}_t)\) 는 상대속도 \(v_t - \bar{v}_t\) 가 마찰응력에 미치는 영향을 반영하는 함수이다. 즉,

\[ g(v_t - \bar{v}_t) = \begin{cases} -1 & \text{if} \quad v_t > \bar{v}_t \\ 1 & \text{if} \quad v_t < \bar{v}_t \end{cases} \tag{5.3} \]

이다. 만약 금형-소재 사이에서 미끄러짐이 발생하지 않는다면, 다음의 조건이 쿨롱마찰법칙에 부과되어야 한다.

\[ |\sigma_t| \le k \quad \text{if} \quad v_t = \bar{v}_t \tag{5.4} \]

이러한 두 조건을 만족하면서 \(|v_t - \bar{v}_t|\) 가 매우 작을 때 발생하는 수치계산상의 문제를 동시에 반영하는 함수로 다음의 함수, 즉 마찰순화함수가 널리 사용된다.

\[ g(v_t - \bar{v}_t) = -\frac{2}{\pi} \tan^{-1} \left( \frac{v_t - \bar{v}_t}{a} \right) \tag{5.5} \]

여기서 \(a\) 는 \(|\bar{v}_t|\) 에 비하여 매우 작은 양의 실수이며, \(a\) 를 극도로 작게 하면 식 (5.5)는 식 (5.3)에 근접한다.

여기서 강조할 점은 식 (5.5)를 사용하여 항복조건을 만족하는 수렴해를 얻었다면 쿨롱마찰법칙에서도 마찰응력이 \(k\) 값을 넘지 않는다는 사실이다. 만약, \(|\mu\sigma_n|\) 이 \(k\) 를 초과하면, 수렴해의 \(|v_t - \bar{v}_t|\) 가 식 (5.4)의 조건을 만족시키기 위하여 충분히 작아진다. 궁극적으로는 접착조건을 만들어 낸다. 식 (5.5)를 사용하여 엄격하게 수렴해를 얻었다면, 쿨롱마찰법칙을 사용하더라도 식 (5.4)의 조건은 자동적으로 만족되는 것이다.

5.3 하이브리드 마찰법칙

마찰 현상은 불확실성이 다소 있지만, 대체적으로 저면압에서는 쿨롱(Coulomb) 마찰법칙이 효과적이라고 알려져 있다. 쿨롱 마찰법칙이 고면압에서 문제가 있다고 해서 고면압에서 일정전단마찰법칙이 바람직하다는 주장도 있으나, 2차원에서는 유한요소법에서 마찰법칙과 함께 사용하는 마찰순화함수가 고면압에서 쿨롱 마찰법칙이 안고 있는 문제를 자연적으로 해결해 주기 때문에 사실상 문제가 되지 않는다[5.2]. 그러나 3차원 문제에서는 고압 하에서의 마찰순화함수를 고려한 충분한 수렴해를 구하는데 계산 시간적으로 불리한 면이 있다. 이러한 문제를 해소하기 위하여 그림 5.2에서 보는 바와 같이 일정한 압력에서는 Coulomb 마찰법칙을 사용하고 그 이상의 압력이 작용할 때는 일정전단마찰법칙을 사용하되 적절한 마찰상수(이하 한계마찰상수(limit frictional factor)로 칭함), 즉 전체를 일정전단마찰법칙으로 간주할 때 사용된 전통적 마찰상수보다 다소 큰 값을 사용하는 하이브리드 마찰법칙(Law of hybrid friction)이 유효할 수 있다. 만약 하이브리드 마찰법칙에서 사용된 한계마찰상수를 전통적 마찰상수와 동일하게 한다면, 하이브리드 마찰법칙은 기존의 일정전단마찰법칙에 비하여 저압에서 마찰응력을 작게 예측하는 결과를 낳는다. 하이브리드 마찰법칙이 고압에서 발생하는 비선형성을 반영하기 위한 목적이라면, 전통적 마찰상수에 비하여 다소 큰 값의 한계마찰상수의 사용을 권장하고 있다. 하이브리드마찰법칙을 수식화하면 다음과 같다.

\[ \sigma_t = \begin{cases} -\mu\sigma_n g(v_t - \bar{v}_t) & \text{if} \quad -\mu\sigma_n \le m'k \\ m'k g(v_t - \bar{v}_t) & \text{if} \quad -\mu\sigma_n > m'k \end{cases} \tag{5.6} \]

여기서 \(m'\) 은 한계마찰상수이다. 마찰응력은 법선응력과 함수관계에 있다. 인발 및 개방 압출 공정에서 법선응력의 변화가 금형의 전 접촉구간에서 비교적 작으므로 일정전단마찰법칙과 쿨롱마찰법칙은 유사한 결과를 낳는다. 그러나 압연공정과 변형형태가 비교적 복잡한 단조 공정에서는 일정전단마찰법칙의 사용이 소성유동 해석 목적에 부적절할 수도 있다. 이러한 문제점을 하이브리드 마찰법칙이 해결하는데 도움이 될 수 있다.

5.4 마찰계수 및 마찰상수의 상태변수 의존성

일반적으로 마찰계수든 마찰상수든 상수로 취급하는 경우가 대부분이다. 그러나 윤활처리된 소재의 윤활막은 소성변형 중에 파괴되기 때문에 이 값들은 변한다. 온도 및 압력에도 영향을 받는다. 이러한 변화를 반영해야만 하는 문제가 존재한다. 따라서 이러한 현상을 반영하기 위하여 마찰계수와 마찰상수를 다음과 같이 온도, 압력, 소재의 변형률의 함수로 간주할 수도 있다.

\[ \mu = \mu_0 W_T(T) W_P(P) W_E(\bar{\varepsilon}) \tag{5.7} \]

\[ m = m_0 W_T(T) W_P(P) W_E(\bar{\varepsilon}) \tag{5.8} \]

여기서 함수 \(W_T(T)\), \(W_P(P)\), \(W_E(\bar{\varepsilon})\) 는 구간선형함수를 비롯한 다양한 함수로 수식화될 수 있다.

이 마찰계수 및 마찰상수를 사용하는 것을 가중함수 마찰모델(weighted frictional model)이라고 하자. 즉, 가중함수 쿨롱마찰법칙은 마찰계수의 정의를 위하여 식 (5.7)을 사용할 때를 일컫는다.

마찰계수 및 마찰상수의 상태변수 의존도를 밝히는 것은 용이하지 않다. 그러나 소성가공 중 윤활막의 손상이 심한 부위가 어느 정도 지배적인 때는 이 함수 관계를 활용해야 한다.

가령, 그림 5.3(a)의 알루미늄 열간단조품의 형상을 일정한 값의 마찰상수나 마찰계수로는 예측되지 않는다. 그림 5.3(b)는 일정한 값의 마찰상수 또는 마찰계수를 사용하여 강열점소성 유한요소법으로 해석한 결과인데, 관찰 대상의 측면 모양이 서로 크게 다르다.

이 제품의 성형을 위하여 소재에 윤활피막을 생성시킨다. 이 윤활피막은 어떤 조건에 이를 때까지 윤활 역할을 충실히 수행하다가 한계치에 도달하면, 윤활 성능을 상실하거나 그 성능이 현저히 떨어지게 된다. 이 윤활피막의 성능을 좌우하는 요소가 접촉면에서 소재의 변형률에 있다고 간주하고, 임계표면변형률(critical surface strain)에 도달하면 마찰계수가 크게 증가하는 것으로 간주하여 해석한 결과, 그림 5.3(c)와 같은 실험과 유사한 결과를 얻을 수 있었다. 실제 변형률이 임계표면변형률을 초과한 접촉 영역에서 윤활막이 심하게 손상되어 소재와 금형이 직접 맞닿는 현상이 발생한 것으로 육안으로 확인되었다. 반면, 그림 5.3(a)에서 보는 바와 같이 관찰 대상의 측면에서는 성형 종료 이후에도 윤활막이 육안으로 확인할 수 있을 정도로 양호하다.

(a) 실험

(b) 정한 마찰계수 또는 마찰상수

(c) 변형률 의존 마찰계수 또는 마찰상수

그림 5.3 알루미늄 피스톤 열간단조 사례

5.5 마모

마모현상은 재료의 성질, 상태변수, 표면거칠기, 윤활 등에 영향을 받는다. 주요 인자들로 마찰소산에너지, 접촉면에서의 재료의 성질 및 온도, 표면거칠기 및 윤활상태 등이다. 마찰소산에너지는 마찰응력과 미끄러짐 거리(즉 접면에서의 상대변위)의 함수이다. 재료의 성질 중에는 경도가 대표적이며, 경도는 온도에 민감한 성질을 지니고 있다. 표면거칠기 및 윤활상태는 마찰계수 또는 마찰상수에 직접적인 영향을 주기 때문에 마모에 큰 영향을 미친다. 마모에 의한 파손은 크게 표면피로파괴, 마멸파괴(또는 연삭마모), 응착파괴, 부식파괴 등이 있다. 소성가공에서 발생하는 마모 현상은 크게 두 가지, 즉 마멸마모(abrasive wear)와 응착마모(adhesive wear)로 설명되고 있다.

마멸마모 현상은 두 마찰면에 존재하는 연삭재 또는 고경도 불순물 또는 경한 면의 돌출부와 연한 면의 접촉에 의하여 마찰면이 연삭되는 것에 그 원인이 있다. 따라서 어느 하나가 심하게 벗겨지며, 상대 물질의 물성이 마모에 큰 영향을 준다.

응착마모는 두 소재의 일부가 융착된 후에 떨어져 나가는 현상에 의하여 발생하는 마모이다. 즉, 접촉면의 역학적인 맞물림에 의하여 접촉된 두 물체의 미소 돌기부분이 고압 상태에서 확산 및 용융의 물리적 현상으로 응착된 후 상대운동에 의해 분리되는 현상을 응착마모라고 한다. 응착마모는 마찰의 응착설(마찰응력의 발생 원인이 접촉부의 응착에 의한 것이라는 설)에 근거한 메커니즘, 즉 접촉부의 파단에서 생기는 마모로, 마모현상 중 가장 기본적인 것이다. 융착마모(scuffing, scouring)나 소성변형(plastic deformation)은 이것의 특수한 경우라고 해석할 수 있다. 표면의 도드라진 부분끼리 응착해, 그것이 전단되고, 20 ㎛ 이상의 대형박편상 마모분을 생성시키므로, 조건이 나쁜 윤활 상태의 마모에서 쉽게 찾아 볼 수 있다. 응착이 넓은 범위에서 동시에 나타나면 눌어붙게 된다.

마모 현상을 수식화하기 위한 목적으로 Archard 모델[5.3]이 광범위하게 사용되고 있다. Archard 모델에서 마모량은 마찰소산에너지에 선형적으로 비례하는 것으로 가정하고 있다. Archard 모델은 기본적으로 마멸마모에 적용된다. 소성가공에서는 일반적으로 접촉하는 두 물체간의 강도 차이가 크기 때문에 마멸마모의 비중이 훨씬 크다. 그리고 응착마모에서도 마찰면에 생성된 파편들이 연삭제로 작용하여 마멸마모로 연결되기 때문에 Archard 모델 또는 그 변형된 모델을 사용할 수가 있다. Archard 모델은 다음과 같이 표현된다.

\[ w = kNL / H \tag{5.9} \]

여기서는 \(w\) 는 전체 마모 파편의 전체 부피이고, \(k\), \(N\), \(L\), \(H\) 는 각각 무차원 상수, 전체의 법선하중, 미끄러짐 거리, 최고로 연한 접촉소재의 경도이다. \(k\) 는 소재의 강도가 작을수록 작으며, 충분히 윤활되었다면 \(k\) 값은 무윤활에 비하여 수천 또는 수만분의 1의 크기이다.

이 모델은 근본적으로 마모는 마찰일에 비례하고 재료의 경도에 반비례한다는 것이다. 이것은 상식적인 것으로, 다른 마모모델도 기본적으로 Archard 모델의 응용 범주에 속한다고 볼 수 있다. 물론 마모의 예측은 전술한 마모모델에 크게 의존할 수밖에 없으며, 그 모델이 요구하는 수치에 따라 그 결과는 직접적인 영향을 받는다. 다음에 주요 마모모델을 나열하였다.

ⓐ 마찰일 마모모델

\[ w = \int_0^t \sigma_t \left| v_t - v_t^D \right| dt \tag{5.10} \]

ⓑ Archard 마모모델

\[ w = k \int_0^t \frac{\sigma_n \left| v_t - v_t^D \right|}{3H} dt \tag{5.11} \]

여기서 \(k\) 는 마모계수(wear factor)이다. \(H\) 는 금형의 경도이며 온도의 함수이다. 즉, \(H = H(T)\) 이다.

ⓒ 변형된 Archard 마모모델

\[ w = \int_0^t k \frac{\sigma_n \left| v_t - v_t^D \right|}{3H} dt \tag{5.12} \]

여기서 \(k\) 는 마모계수이다. \(k\) 는 마모량 또는 마모깊이 \(w\) 의 함수이다. 즉 \(k = k(w)\) 이다. \(H\) 는 금형의 경도이고 온도의 함수이다. 즉 \(H = H(T)\), 등이다.

식 (5.10) ~ 식 (5.12)에서 \(v_t^D\) 는 금형의 접선 속도 성분을 의미한다.

5.6 마찰평가곡선과 마찰의 평가

그림 5.4의 링압축(ring compression)은 마찰에 민감하므로 마찰을 평가하는 목적으로 널리 사용되고 있다. 링압축에서 압하율에 따른 링의 내경과 외경의 변화는 그림 5.5에서 보는 바와 같이 마찰조건에 크게 좌우된다. 즉, \(h\) 에 따른 \(z = (d_{\text{min}} - d_o)/d_o\) 값의 변화가 민감하게 발생한다. 극단적인 예로 무마찰일 때는, 즉 균질링압축(homogeneous ring compression)일 때는 링은 무조건 팽창을 한다. 즉, 링의 내경이 증가한다. 반면, 극도로 마찰이 커서 접착조건의 적용이 성립하면, 내면은 안쪽으로 볼록하게 변형된다. 이러한 점 때문에 링압축시험은 마찰의 평가 목적으로 널리 사용되고 있다.

그림 5.4 링압축시험

(a) μ = 0.1

(b) μ = 0.5

그림 5.5 링압축시험 및 마찰의 세기와 링압축 공정의 상관관계

소성가공 공정의 유한요소법, 즉 소성가공 시뮬레이션 기술을 이용하여 재료의 유동응력을 고정시킨 상태에서 다양한 마찰법칙과 조건에 따른 최소 내경과 압하율 간의 관계 곡선을 작성하면, 마찰평가 목적으로 사용될 수가 있다. 이를 마찰평가곡선(calibration curve of friction)이라고 한다.

예를 들면, 그림 5.6은 유동응력이 \(\bar{\sigma} = 503(1+\bar{\varepsilon}/0.05)^{0.26}\) MPa 인 소재를 위한 마찰평가곡선이다. 이 곡선을 얻는데 사용된 시편의 내경 : 외경 : 높이의 비는 3 : 6：2이다. 이 곡선을 이용하면, 시험결과로 얻은 실험곡선을 이 마찰평가곡선과 비교함으로써 마찰계수 또는 마찰상수를 결정할 수 있다. 마찰평가곡선은 소재마다 다르고 소재의 상태에 따라 다르다. 즉, 링압축시험의 해석에 사용된 유동응력에 따라 다소 차이가 난다. 그림 5.5는 변형률속도 비의존 재료에 대한 마찰평가곡선이다. 따라서 해석 시에 속도의 영향을 고려할 필요가 없다.

그림 5.6 상온 링압축시험의 해석결과로 획득한 마찰평가곡선

그림 5.7 고온 링압축시험의 해석결과로 획득한 마찰평가곡선

그림 5.7은 동일한 소재에 대한 고온 마찰평가곡선이다. 고온에서의 유동응력은 \(\bar{\sigma} = 66.0 \dot{\bar{\varepsilon}}^{0.195} \text{MPa}\) 이다. 그림 5.7을 얻기 위하여 링의 내경, 외경, 높이를 각각 30mm, 60mm, 20mm로 하였으며, 속도는 200mm/s로 가정하였다. 엄밀히 말하면, 그림 5.7의 고온용 마찰평가곡선은 소재의 유동응력뿐만 아니라 속도에 따라서도 달라진다.

링압축시험을 실시하여 압하율 중심면에서의 내경의 변화 곡선을 작성하여 이것을 마찰평가곡선과 비교함으로써 마찰계수 또는 마찰상수를 추정할 수 있다. 이것이 링압축시험으로부터의 마찰조건의 획득방법이다.

그림 5.6과 그림 5.7을 비교하면, 쿨롱마찰법칙과 일정전단마찰법칙이 특히 저압하율과 저마찰에서 유사한 패턴을 보임을 알 수 있다. 그러나 고압하율과 고마찰일 때는 두 마찰법칙의 마찰평가곡선의 기울기가 다소 차이를 나타낸다. 물론 이것은 쿨롱마찰법칙에서 법선응력의 영향이 반영된 결과이다. 그림 5.6과 그림 5.7로부터 마찰상수는 마찰계수의 약 2배 내외임을 알 수 있다.

한편, 마찰평가곡선을 바탕으로 쿨롱마찰법칙과 일정전단마찰법칙이 유사하다고 인식하는 때가 많다. 이것은 경우에 따라서는 사실과 크게 다르다(상세 내용은 제5.7절 참조). 두 마찰법칙은, 접촉면에서의 압력 변화가 작다면, 근본적으로 유사할 수밖에 없다. 링압축은 중공 재료의 특성상 마찰언덕(friction hill)이 상대적으로 뚜렷하지 않다. 즉, 접촉면에서의 압력의 차이가 크지 않다. 이러한 현상은 저마찰일 때, 더욱 확연하다. 따라서 두 마찰법칙이 링압축에서 링의 변형을 유사하게 야기시켰다고 해서 두 마찰법칙이 유사하다고 할 수 없다. 링압축에서 접촉면의 압력분포가 단조 등에 비하여 상대적으로 작기 때문에 두 마찰모델이 예측한 결과가 당연히 유사할 뿐이다. 링압축으로부터 두 마찰의 관계를 논하는 것 자체가 타당하지 않다.

5.7 마찰법칙과 마찰조건의 영향

이 절에서 공정의 형상비는 소재의 높이/폭의 비율로 정의되고, 접촉면적비는 (소재의 접촉영역의 면적)/(전체 표면의 면적)으로 정의된다.

(1) 저형상비 실린더 압축

그림 5.8은 저형상비 및 저접촉면적비의 실린더 압축공정을 쿨롱마찰법칙과 일정전단마찰법칙으로 동일한 조건 하에서 얻은 해석결과를 나타낸다. 이 해석에 사용된 공정 조건은 그림 5.7의 마찰평가곡선의 획득에 사용된 것과 동일하다. 그림 5.8(a)는 마찰계수 \(\mu = 0.2\)에 대한 것이고, 그림 5.8(b)는 마찰상수 \(m = 0.48\)에 대한 것이다. 여기서 사용된 마찰계수와 마찰상수는 그림 5.7에서 보는 바와 같이 서로 상응하는 값이다. 그림 5.8의 금속유동선도에서 보는 바와 같이 저형상비의 문제에 대해서 두 마찰법칙은 유사한 소성유동선도를 예측하고 있음을 알 수 있다. 이것은 그림 5.9에서 보는 바와 같이 성형하중 측면에서도 마찬가지이다.

(a) 쿨롱마찰법칙 (μ = 0.2) (b) 일정전단마찰법칙 (m = 0.48)

그림 5.8 저형상비와 저접촉면적비의 실린더 압축 시의 소성유동선도 비교

그림 5.9 저형상비와 저접촉면적비의 실린더 압축 시의 성형하중의 비교

(2) 고형상비 실린더 압축공정

그림 5.10과 그림 5.11은 고형상비 실린더 압축공정의 해석결과를 나타내고 있다. 이를 위하여 그림 5.7의 마찰평가곡선을 획득하기 위하여 사용된 것과 동일한 공정조건을 사용하였다. 그림 5.10⒜는 마찰계수 μ = 0.2를 사용한 결과이고 그림 5.10⒝는 마찰상수 μ = 0.48 을 사용한 결과이다. 그림 5.11은 성형하중의 변화를 나타내고 있다. 이 두 결과에서 동시에 볼 수 있는 것은 처음에는 두 마찰모델이 비슷한 결과를 예측했지만 스트로크가 증가할수록 그 결과의 차이가 확대됨을 알 수 있다. 이 사실은 형상비 또는 접촉면적비가 증가할수록 두 마찰법칙의 차이가 확대됨을 의미하는 것이다.

(a) 쿨롱마찰법칙 (μ = 0.2) (b) 일정전단마찰법칙 (m = 0.48)

그림 5.10 고형상비와 고접촉면적비의 실린더 압축 시의 소성유동선도 비교

그림 5.11 고형상비와 고접촉면적비의 실린더 압축 시의 성형하중 비교

(3)링기어 단조 공정

링기어는 상대적으로 큰 형상비와 접촉영역비를 지닌 제품이다. 전형적인 링기어 단조 공정에 대한 유한요소해석을 위하여 변형률속도의존지수로 0.195를 사용하였고, 상형이 500mm/s의 등속으로 하강한다고 가정하였다. 마찰계수로 μ = 0.1을 사용하였고, 마찰상수로 m = 0.2를 사용하였다. 물론 이 두 마찰조건은 그림 5.12에서 보는 바와 같이 서로 상응하는 조건이다. 이 조건은 실제의 열간단조 공정의 조건과 다르며, 단지 마찰법칙의 차이를 분석하기 위하여 가정한 것이다.

(a) 소성유동선도

(b) 성형하중

그림 5.12 마찰법칙에 따른 링기어 단조 공정의 예측결과의 비교

그림 5.12의 결과로부터 매우 큰 차이가 특히 대칭축 주위에서 존재함을 알 수 있다. 이것은 일정전단마찰법칙이 중앙 부위의 높은 압력 작용 지역에서는 저마찰을 초래하고 자유표면과 인접한 금형-소재 경계지역에서는 고마찰을 야기시키는 것에 연유한 것이다. 그림 5.12⒝의 성형하중의 비교에서는 두 마찰법칙의 상이함을 보다 선명하게 보여주고 있다. 쿨롱마찰법칙은 일정전단마찰법칙에 비하여 약 30% 큰 성형하중을 예측하였다.

(4) 장소재의 냉간압출

비록 형상비는 작지만 접촉영역비가 크다면 마찰은 쉬운 문제가 아니다. 전형적인 문제를 그림 5.13⒜에서 보는 바와 같은 다단계 압출공정에서 볼 수 있다. 이 해석에 사용된 소재의 유동응력은 \(\bar{\sigma} = 50.3(1+\bar{\varepsilon}/0.05)^{0.26}\) MPa이며, 쿨롱마찰법칙을 사용하였고, 마찰계수는 0.1로 가정하였다.

그림 5.13(a)의 해석결과, 즉 유효변형률의 분포는 비록 마찰계수가 매우 큰 값이 아닌데도 불구하고 펀치 부근에서 다소 비정상적인 소성변형이 발생했음을 알 수 있다. 물론 이에 상응하는 일정전단마찰법칙을 사용한다면, 이 문제는 발생하지 않는다. 그러나 컨테이너가 길고 일정전단마찰법칙에서 마찰상수가 비교적 크다면 비록 비정상적인 소성변형이 펀치 주위에서 발생하지 않더라도 과도한 성형하중을 예측할 수도 있다.

(a) 일정 마찰계수 (b) 가변 마찰계수

그림 5.13 고압출비 및 장 컨테이너 전방압출공정 해석과 쿨롱마찰법칙

그림 5.13⒜에서 비정상적인 소성유동 현상은 쿨롱마찰법칙의 과도한 마찰응력에 기인한다. 물론 이것의 직접적 원인은 출구에서의 마찰조건을 기준으로 전체의 접촉경계에서 마찰계수가 일정하다고 가정한 것에 있다. 이 문제를 회피하기 위한 하나의 방법은 금형을 여러 조각으로 구분하고 각 부위마다 마찰계수를 압력(법선응력)과 소재의 유효변형률에 따라 다르게 입력하는 것이다. 실제 컨테이너에서는 소재와 금형이 윤활제로 완벽하게 분리되어 있으므로 마찰계수는 작을 수밖에 없다. 그러나 출구에서는 상황이 정반대이다. 소재에 입혀져 있던 윤활제 피막이 크게 손상되고 압력이 크게 증가한다. 이러한 점을 고려하여 그림 5.13⒝에서 보는 바와 같이 마찰계수를 윤활제의 변형을 직관적으로 고려하여 결정했다면 비정상적인 소성유동은 발생하지 않는다.

그런데 이 방법은 사용법 상의 문제로 사용자로부터 주목을 끌지 못할 수도 있다. 이러한 이유로 식 (5.6)의 하이브리드마찰법칙 또는 식 (5.7)과 식 (5.8)을 사용한 가중함수 마찰법칙이 유용할 수 있다. 하이브리드마찰법칙은 그림 5.2에서 보는 바와 같이 법선응력이 작을 때는 쿨롱마찰법칙 \(\sigma_t = -\mu\sigma_n g(v_t - \bar{v}_t)\) 을 따르고 법선응력이 클 때는 일정전단마찰법칙 \(\sigma_t = m'k g(v_t - \bar{v}_t)\) 을 따른다. 물론 이 때의 한계마찰상수 \(m'\) 을 마찰응력의 상한치를 정의하는 목적으로도 사용할 수 있으며, 마찰계수 \(\mu\) 에 상응하는 마찰상수 \(m\) 으로 간주할 필요는 없다.

(5) 고단면감소율 사각컵 후방압출

3차원 해석 시에, 특히 그림 5.14(a)와 같이 소재가 얇다면 쿨롱마찰법칙은 하부에 두께 방향으로의 엉성한 요소밀도로 인하여 과도한 구속을 야기할 수 있고, 일정전단마찰법칙 역시 측벽면에서 과구속의 문제를 발생시킬 가능성이 크다. 이러한 경우에는 하이브리드마찰법칙의 사용을 고려해 볼 필요가 있다. 물론 이 마찰법칙을 사용하기에 앞서 실험결과와의 비교를 통한 경험의 축적이 선행되어야 할 것이다. 그림 5.14(b)와 그림 5.14(c)는 각각 쿨롱마찰법칙과 하이브리드마찰법칙을 사용한 결과이다. 그리고 그림에서 보는 바와 같이 바닥면에서 요소의 두께 방향 분포가 충분하지 않음을 알 수 있다. 이 문제는 요소의 수를 늘리는 것만으로 해결될 수가 없다. 따라서 쿨롱마찰법칙은 요소망과 함께 과구속의 결과를 초래할 수 있다. 실제 그림 5.14(b)와 그림 5.14(c)를 비교해 보면, 이러한 사실을 알 수가 있다.

결론적으로 압출비가 매우 큰 후방압출공정에서 하이브리드마찰법칙이 유용하다. 이 때, 마찰계수 \(\mu\) 및 한계마찰상수 \(m'\) 를 실험결과와 해석결과의 비교를 통하여 적절하게 잡는 것이 중요하다. 만약 전술한 문제의 해결을 위하여 일정전단마찰법칙을 사용한다면, 이미 주변형구간을 빠져 나온 소재가 금형의 벽면과 기하학적으로 접촉하게 되면 과구속의 문제와 결과의 진동을 유발할 수 있다.

(a) 후방압출공정

(b) 쿨롱마찰 (c) 하이브리드마찰

그림 5.14 고단면감소율 사각컵 후방압출 공정의 해석

(6) 자동다단냉간단조에서의 파단면의 처리

냉간단조에서는 일반적으로 윤활 목적으로 소재의 표면에 인산염피막 또는 이황화몰리브덴(\(\text{MoS}_2\)) 피막처리를 실시한다. 그리고 프레스단조에서는 변형이 심하면 풀림 열처리를 실시하며, 이 때마다 피막처리를 다시 실시한다. 그러나 자동다단단조에서는 피막처리된 코일재료를 사용하며, 단조기에서 절단된 단면에는 피막처리가 될 수 없다. 물론 이런 이유로 자동다단단조는 윤활유의 분위기에서 이루어지고 있다. 어떻든 파단면과 측면은 마찰 측면에서 크게 다를 수밖에 없다. 따라서 마찰이 중요한 문제에 대해서는 파면과 측면의 마찰계수를 다르게 입력할 필요가 있다. 그림 5.15에서 보는 바와 같이 서로 다른 마찰계수로 인하여 마찰응력이 위치에 따라 다름을 알 수 있다. 그림에서 수직한 선분의 길이는 마찰응력의 크기를 의미한다.

그림 5.15 강구제조공정 – 마찰응력이 위치마다 다른 경우

(7) 장파이프의 동시확관 및 축관공정

그림 5.16의 장박파이프의 동시 확관 및 축관 공정은 마찰법칙에 민감하다. 왜냐하면, 금형-소재 접촉면에서 법선응력은 상대적으로 적은 반면, 접촉영역은 크기 때문이다. 이 공정에서 파이프의 상하 끝은 동시에 성형된다. 상부는 팽창되고, 하부는 축소된다. 만약 마찰이 크다면, 파이프의 중간 부위의 반경은 증가하게 되고 중간부위에서 소재와 금형의 접촉이 발생할 것이다. 이 때 접촉영역이 크기 때문에 소재의 소성유동은 마찰법칙 및 마찰조건에 크게 영향을 받을 수밖에 없다.

이 공정의 해석에 사용된 유동응력은 \(\bar{\sigma}=617.0\bar{\varepsilon}^{0.25}\)MPa 이다. 공정해석은 두 마찰법칙과 다양한 마찰조건 하에서 이루어졌다. 마찰계수에 상응하는 마찰상수를 그림 5.6으로부터 얻었다(소재는 다르지만, 변형경화지수가 유사하므로 큰 차이가 없다). 해석조건 중에서 하나를 선택하여 변형된 형상을 그림 5.17에 나타내었다. 두 마찰법칙의 효과를 정량적으로 평가하기 위하여 그림 5.16(b)의 돌출길이 \(d\)를 조사하였으며, 그 결과를 그림 5.18에 요약하였다. 이 그림으로부터 이 예제에 대해서는 두 마찰모델 간에는 유사성이 없다는 결론에 도달한다. 여기서 강조하고자 하는 점은 일정전단마찰법칙은 역학적으로는 분리되어 있지만 기하학적으로 접촉한 영역에서도 과도한 마찰응력을 부과하므로 실제의 현상과는 비교적 큰 차이를 발생시킬 가능성이 크다는 사실이다. 이것은 앞에서 설명한 고단면감소율 사각컵 후방압출에서도 우려했던 문제이다.

(a) 초기          (b) 최종

(a) μ = 0.05          (b) m = 0.096

그림 5.16 장파이프의 동시 축관/확관 공정

그림 5.17 예측결과의 예

그림 5.18 마찰에 따른 돌출길이 d의 변화

결론적으로 마찰이 비교적 중요하지 않는 공정이거나 법선응력의 변화가 크지 않을 때는 쿨롱마찰법칙과 일정전단마찰법칙은 유사하지만, 마찰이 중요한 소성가공 공정에서 두 마찰법칙은 유사성이 없다. 따라서 가급적 쿨롱마찰법칙을 사용하고, 경우에 따라서는 하이브리드마찰법칙 또는 가중함수 마찰법칙의 선택적 사용을 추천한다. 특히 3차원 해석에서는 요소망의 수에 제약이 따르므로 마찰 현상의 예측결과가 요소망에 비교적 큰 영향을 받을 수 있기 때문에 하이브리드마찰법칙의 사용을 적극 검토해 볼 필요가 있다.