10 금형의 구조해석

10.1 금형 구조해석 문제의 정의와 수식화

탄성역학 문제를 그림 10.1에 개념적으로 도시하였다.

그림 10.1 탄성역학 문제의 개념도

금형의 구조해석은 기하학적 경계조건과 역학적 경계조건을 만족하는 변위장 \(u_i\) 와 이로부터 파생되는 응력을 비롯한 각종 기계량을 구하는 것이다. 금형의 구조해석 문제는 해석영역 \(V\), 표면력이 \(\sigma_{ij}n_j = \bar{t}_i^{(n)}\) 로 주어진 표면력지정경계 \(S_{t_i}\), 변위가 \(u_i = \bar{u}_i\) 로 주어진 변위지정경계 \(S_{u_i}\), 두 물체의 접촉면 \(S_c\) 등으로 구성되어 있다.

두 물체, 즉 두 개의 금형 부품의 접촉면에서 법선벡터를 공유하며, 접촉면은 동일한 법선벡터 \(n_i\) 로 정의한다. 법선벡터 \(n_i\) 가 물체의 외향이면 그 물체의 접촉경계를 \(S_c^+\) 로 정의하고 반대로 내향인 접촉경계를 \(S_c^-\) 로 표시한다. 즉, 접촉경계에서 동일한 법선벡터를 사용하므로, 접촉경계에서는 항상 \(S_c^+\) 과 \(S_c^-\) 가 존재한다. \(S_c\) 는 \(S_c^+\) 와 \(S_c^-\) 를 대표하는 의미로 사용한다. 두 물체간의 접촉부의 \(S_c\) 에서의 역학적 및 기하학적 경계조건은 다음과 같다. 접촉경계의 법선방향으로는

\[u_n^{+c} = u_n^{-c} \quad \text{if} \quad \sigma_n^{+c} < 0 \tag{10.1}\]

\[\sigma_n^{+c} = 0 \quad \text{if} \quad u_n^{+c} - u_n^{-c} < 0 \tag{10.2}\]

이고, 접선방향으로는

\[\sigma_t^{+c} = -\sigma_t^{-c} = \mu |\sigma_n| \frac{(u_t^{-c} - u_t^{+c})}{|u_t^{-c} - u_t^{+c}|} \quad \text{if} \quad u_t^{-c} \neq u_t^{+c} \tag{10.3}\]

\[u_t^{-c} = u_t^{+c} \quad \text{if} \quad |\sigma_t| < \mu |\sigma_n| \tag{10.4}\]

이다. 여기서 하첨자 \(n\) 과 \(t\) 는 각각 법선성분과 접선성분을 의미하며, 상첨자 \(+c\) 와 \(-c\) 는 각각 \(S_c^+\) 과 \(S_c^-\) 에서의 성분을 의미한다.

식 (10.3)은 접촉면에서 미끄러짐이 발생하면 미끄러짐을 방해하는 방향으로 Coulomb 마찰법칙에 의하여 마찰응력이 작용한다는 의미를 내포한다. 미끄러짐이 발생하지 않으면 접선방향의 경계조건은 식 (10.4)에 의하여 지배되고, 즉 필수경계조건의 일부로 간주되고, 그 때의 마찰응력의 크기는 \(\mu |\sigma_n|\) 보다 작게 된다. 벌칙기법을 이용하여 식 (10.1)의 조건을 다음 식에서 보는 바와 같이 가상일의 원리에 내포시킬 수 있다.

\[ \begin{aligned} \int_V \sigma_{ij} \delta\varepsilon_{ij} dV - \int_V f_i \delta u_i dV - \sum \int_{S_{t_i}} \bar{t}_i^{(n)} \delta u_i dS \\ + \int_{S_c} \beta (u_n^{+c} - u_n^{-c})(\delta u_n^{+c} - \delta u_n^{-c}) dS - \int_{S_c} \sigma_t \delta u_t dS = 0 \end{aligned} \tag{10.29} \]

여기서 \(S_{c'} (\subset S_c)\)는 \(\sigma_n^{+c} < 0\) 인 역학적 접촉경계를 의미하며, 그 자체가 미지수이다. 이 표현은 비록 기하학적으로 붙어 있다고 해도 경계에 압력이 작용하지 않으면 자유표면이 된다는 의미를 내포하고 있다. 즉, \(S_c\) 는 기하학적 접촉경계를 의미한다. 벌칙상수 \(\beta\) 는 매우 큰 양의 상수로써 \(\sigma_n^{+c} = -\beta(u_n^{+c} - u_n^{-c})\) 의 물리적 의미를 갖는다.

응력-변형률 관계는 다음과 같이 표현된다.

\[\sigma_{ij} = 2\mu\varepsilon_{ij} + \lambda\varepsilon_{kk} - (3\lambda + 2\mu)\alpha\Delta T\delta_{ij} \tag{10.30}\]

여기서 \(\mu\) 와 \(\lambda\) 는 Lamé 상수이며, 탄성계수 \(E\) 및 포아송비 \(\nu\) 와 다음의 관계를 갖는다.

\[\mu = E / 2(1+\nu) \tag{10.31}\]

\[\lambda = \nu E / (1+\nu)(1-2\nu) \tag{10.32}\]

그리고 \(\alpha\) 는 열팽창계수이며, \(\Delta T\) 는 열박음량에 상응하는 현재온도와 기준온도의 차, 즉 열하중을 의미한다.

그림 10.2는 냉간 단조공정과 가상의 금형설계에 대한 금형구조해석 결과를 나타내었다. 냉간단조에서는 금형의 모서리에서 응력집중으로 발생하는 잦은 파괴를 막기 위하여 금형 분할 기법이 적용된다. 이 예제는 분할 금형의 구조해석의 극단적인 예를 나타낸다.

(a) 2차원

(b) 3차원

그림 10.2 가상의 분할 금형의 구조해석

10.2 완전해석

단조를 비롯한 체적소성가공 공정 해석에서 금형의 변형 그 자체가 중요하지 않는 경우가 많다. 그리고 금형의 탄성변형을 고려한 해석, 즉 완전해석(complete simulation)은 기술적 어려움이 있어 최근까지만 하더라도 학술적 차원에 머물러 있었다. 이러한 이유로 대부분의 체적소성가공 시뮬레이션에서 금형을 강체로 간주해 왔다.

최근 체적소성가공 시뮬레이션 기술의 발전으로 완전해석 기술의 활용이 실현되고 있다. 완전해석 기술은 금형을 탄성체 또는 탄소성체로 간주하고, 금형의 탄성변형을 고려한 실제의 금형 형상을 대상으로 소성가공 시뮬레이션을 실시하는 것이다. 그러나 유한요소법은 기본적으로 실제보다 구속된 소재에 변형을 가하는 것으로 그 반력은 실제보다 클 수밖에 없다. 경우에 따라서는 20~30% 크게 예측이 될 수도 있다. 따라서 과하중에 따른 금형의 과대 변화로 인하여 강체의 가정 하에서 구한 해보다 해석결과의 변화 폭이 클 수가 있다.

완전해석 사례를 그림 10.3에 나타내었다. 이 예제는 축대칭 냉간단조 공정으로 열박음에 의한 금형의 수축 및 예압이 고려되었고, 공정 해석 중 성형하중과 열박음에 의한 금형의 탄성변형을 고려하였다. 다시 말하면, 금형의 탄성변형에 의한 금형의 변형이 소재에 미치는 영향이 반영된 것이다. 재료의 탄성변형의 반영이 가능한 탄소성 유한요소법이 사용되었다. 그러므로 역학적 관점에서 가정이 최소화되었다. 이와 같은 소성가공 공정의 해석을 완전해석이라고 한다.

그림 10.3 축대칭 공정의 완전해석 사례

그리고 완전해석과 일반해석의 공통점과 차이점을 제11.9.3절에서 스크롤 단조공정 해석을 통하여 상술하였다.