6 손상도와 연성파괴이론

6.1 전통 연성파괴이론

재료가 파단에 도달하는 이유는 재료마다 다르다. 이런 이유로 재료의 특성에 적합한 다양한 파괴이론이 개발되어 있다. 현재 소성가공의 관점에서 설득력을 가진 이론은 연성파괴 이론이다. 이 이론에서는 재료에 축적된 손상도 수치가 그 재료가 견딜 수 있는 한계치, 즉 임계손상도에 도달했을 때 파단이 발생한다. 따라서 이 이론을 효과적으로 사용하기 위해서는 재료에 적합한 손상도 모델의 선택과 그에 적합한 임계손상도의 결정이 전제되어야 한다. 경험적으로 보면, 손상도 모델의 선택에 따라 손상도의 예측결과는 다소 달라진다. 현재까지 파단의 해석 목적으로 연구된 손상도 모델에는 에너지 기반 모델(Cockroft and Latham, Freudenthal), 공극 성장 미시역학 기반 손상도 모델 (McClintock, Rice and Tracey, Oyane), 다공질 기반 모델 (Tvegaard and Needleman), 연속체 손상 역학 기반 손상도 모델 (Lemaitre) 등이 있다. 다음에 주로 많이 사용되는 손상도 모델을 정리하였다.

ⓐ 정규화된 Cockcroft-Latham 손상도 모델

\[ D = \int_0^{\bar{\varepsilon}_f} \frac{\langle \sigma_1 \rangle}{\bar{\sigma}} d\bar{\varepsilon} \tag{6.1} \]

ⓑ Cockcroft-Latham 손상도 모델

\[ D = \int_0^{\bar{\varepsilon}_f} \sigma_1 d\bar{\varepsilon} \tag{6.2} \]

ⓒ Brozzo, Deluca, Rendina 손상도 모델

\[ D = \frac{2}{3} \int_0^{\bar{\varepsilon}_f} \frac{\sigma_1}{\sigma_1 + p} d\bar{\varepsilon} \tag{6.3} \]

ⓓ Freudenthal 손상도 모델

\[ D = \int_0^{\bar{\varepsilon}_f} \bar{\sigma} d\bar{\varepsilon} \tag{6.4} \]

ⓔ McClintock 손상도 모델

\[ D = \frac{1}{2} \int_0^{\bar{\varepsilon}_f} \left[ \frac{2}{\sqrt{3}(1-n)} \sinh \left[ \frac{\sqrt{3}}{2}(1-n) \frac{\sigma_1 + \sigma_3}{\bar{\sigma}} \right] - \frac{\sigma_3 - \sigma_1}{\bar{\sigma}} \right] d\bar{\varepsilon} \tag{6.5} \]

ⓕ Oyane, Okimoto, Shima 손상도 모델

\[ D = \int_0^{\bar{\varepsilon}_f} \left( 1 - \frac{p}{A\bar{\sigma}} \right) d\bar{\varepsilon} \tag{6.6} \]

ⓖ Norris, Reaugh, Moran, Quinnones 손상도 모델

\[ D = \int_0^{\bar{\varepsilon}_f} \frac{\bar{\sigma}}{1+cp} d\bar{\varepsilon} \tag{6.7} \]

ⓗ Rice-Tracey 손상도 모델

\[ D = \int_0^{\bar{\varepsilon}_f} A \exp \left( \frac{3}{2} \frac{\sigma_m}{\bar{\sigma}} \right) d\bar{\varepsilon} \tag{6.8} \]

위 식에서 \(\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3\)은 주응력(principal stress)이고, \(p = -\sigma_m\)은 정수압(hydrostatic pressure)이다. 그리고 \(c\), \(A\), \(n\)은 재료상수이다. \(\langle x \rangle\)는 특이함수이며, \(x\)가 음수이면 \(0\)의 값을 갖고, 양수이면 \(x\) 값을 갖는다. McClintock 손상도 모델에서 \(n=1.0\) 일 때의 손상도는 정규화된 Cockcroft-Latham 손상도 모델의 손상도와 동일하다.

6.2 3축 응력 기반 손상도 모델

6.2.1 소성가공 중 전단 파단

최근 경량화 이슈에 따른 금속 판재의 강도는 점점 높아가고 있다. 강도가 높은 금속 판재를 성형할 때 소재의 성형성 부족, 금형의 파손, 스프링백의 제어, 전단 파단 등의 문제가 끊임없이 제기되고 있고 많은 연구가 수행되고 있다. 이 중 전단 파단은 고장력 강판의 판재성형에서 금형 어깨 부 반지름이 강판 두께에 비해 과도하게 작을 경우, 소재-금형 접촉부의 좁은 영역에서 과도한 굽힘에 기인하는 변형률의 국부 집중으로 파단이 발생한다. 이는 연강에 비해 상대적으로 낮은 고강도강의 연성 때문에 발생한다고 보고되고 있다. 그림 6.1에는 실제 고장력 강판에서 발생하는 전단 파단의 사례를 보여주고 있다. 많은 선행 연구에서 고장력 강판의 전단 파단에 대해 연구를 수행하였다.

그림 6.1 고장력 강판의 금속 성형에서의 전단 파단 사례[6.1]

이러한 파단변형률은 주방향과 부방향 변형률로 이루어진 FLD(성형한계도, Forming Limit Diagram) 평면에서는 예측할 수 없는 전단변형 영역에 존재하게 된다. 이를 평면내 전단변형이라고 한다. 따라서 단축인장에서 양축인장에 전단변형 영역까지 포함하는 새로운 파단 모델이 필요하며, Li 등[6.2]은 수정된 MohrCoulomb 모델[6.3]을 이용하여 파단 예측이 가능함을 보였다. 지금부터 최근 Bai와 Wierzbicki 연구 결과[6.4]를 적용한 3축 응력 파단 이론에 대하여 제한적으로 설명한다.

6.2.2 3축 응력상태에서의 손상 모델 이론

(1) 인장시험에서의 재료 물성치 획득

그림 6.2에서 보는 바와 같이 1차원 파단 예측의 경우, 인장시험에서 얻어지는 최대 균일 연신 구간의 종점, 즉 네킹점 또는 파단점에서의 변형률, 즉 파단변형률을 기준으로 삼고 소성가공 중에 발생하는 소재의 파단을 예측한다. 이 때, 최대 응력 또는 최대 변형률을 파단 기준으로 삼는다. 이러한 인장시험 기준 1차원 파단 예측기법은 복잡한 응력상태를 거치는 판재성형에 적합하지 않다.

그림 6.2 인장시험과 파단 곡선

이러한 인장시험 기반 파단 예측 이론의 한계를 극복하기 위하여 각 일정 변형 경로별 파단 한계가 판재성형을 위한 한계 곡선으로 도입되었고, 이 곡선을 성형한계곡선, 즉 FLD 곡선(Forming Limit Curve)이라고 한다. 그림 6.3의 성형한계곡선은 판재성형 종류 중 드로잉 공정에서 주로 겪는 변형 경로(단축인장-평면변형인장-양축 인장)의 범위 내에서 매우 유효한 파단 근거로 사용하고 있다. 그러나 그림 6.3에서 보는 바와 같이 전단구간이나 압축응력에 대한 파단 변형률을 측정할 수 없다. 그리고 일정 응력비를 가정하기 때문에 일정한 소성가공 경로에서만 유효하다. 따라서 복잡한 드로잉 공정이나 아이어닝 인장-압축 공정을 비롯한 변형 경로가 변경되는 공정에는 유효하지 않다.

이러한 문제의 해결을 위하여 3축 응력상태를 고려한 TFD(Triaxiality Failure Diagram)에 관한 연구가 최근 활발히 진행되고 있다. TFD의 경우, 다양한 응력상태의 시편에 대해 파단 변형이 발생하는 국부 영역에서 파단현상의 해석을 진행한다. 일정 변형 경로를 가정한 이론식이 아니기 때문에 변형 경로에 대해서도 의존적이지 않은 장점을 가지고 있다.

TFD를 작성하는데 필요한 국부 파단 연신율을 측정하기 위해 특수페인트를 금속 시편 표면에 입히고 페인트의 입자의 변위를 촬영해서 변형률을 계산하는 DIC(Digital Image Correlation) 기법을 사용한다. 이 방법에서는 보정을 위해 유한요소 해석모델과의 튜닝을 거쳐 파단 변형률을 결정한다. 따라서 과도한 측정 시간과 다수의 유한요소해석 및 변수의 결정으로 인하여 시간이 오래 걸린다는 단점이 있다.

그림 6.3 성형한계곡선(FLD)와 FLD시험 시편

그림 6.4 만능 인장시험기와 연계된 DIC 측정 시스템

그림 6.4은 DIC측정 장비와 방법에 관해 소개한다. 금속 시편 위에 특수 스프레이를 도포하여 불규칙한 패턴을 생성시킨 후, 두 대의 스테레오 카메라를 통해 인장시험 도중에 패턴의 변위를 촬영하여 인장시험이 종료된 이후에 변형률 분포를 계산한다. 측정된 전 영역에 대한 변형률 분포를 계산할 수 있기 때문에 국부 영역의 파단 변형률까지 측정이 가능한 장점이 있다.

그림 6.5는 DIC를 통해 Al6061 합금의 인장 시편에 대하여 측정한 파단 시점에서의 변형률 분포를 보여주고 있다. 이 그림을 통해, 일반적인 인장시험을 통해 얻을 수 있는 변형률의 크기가 네킹이 발생하는 균일 연신까지의 변형률, 즉 약 15%이지만, DIC를 이용하였을 경우 국부 연신률이 최대 60%에 이를 때까지 변형률을 측정할 수 있음을 알 수 있다. 따라서 각 응력상태의 국부 파단변형률을 측정하거나 추적이 가능하며, 다양한 형상의 DIC 인장시험을 통해 각 응력상태별 파단변형률의 측정이 가능하다.

그림 6.5 인장시험에서 DIC를 이용한 구한 전영역에서 변형률 분포

그림 6.6 TFD(Triaxiality Failure Diagram, 3축 응력상태 파단 한계도)

그림 6.6은 TFD의 개념도를 보여주고 있다. 그림에서 커브는 판재성형에서 사용되는 각 응력상태, 즉 (1) 전단 (2) 단축인장 (3) 평면변형 (4) 양축인장 등의 시편의 형상과 함께 파단 변형률을 보여주고 있다. TFD의 \(x\)-축은 작은 실수 값으로 표현되는데, 3축 응력상태 계수 \(\eta\) (\(\sigma_m\), 평균 응력과 \(\bar{\sigma}\), 유효응력의 비율)로 정의되며, 유효응력에 기반한 응력의 3축 응력상태 계수는 다음 식으로 정의된다.

\[ \eta = \frac{\sigma_m}{\bar{\sigma}} \tag{6.9} \]

여기서 \(\sigma_m\) 은 평균응력을 의미하며, \(\bar{\sigma}\) 는 유효응력을 의미한다. 이러한 3축 응력상태 계수는 로데각(Lode angle, 식 (6.21) 참조)과 함께 하중경로를 나타내는 대표적인 응력 기반 변수이다. 판재성형에서 사용되는 FLD의 경우 변형률 기반 파단 한계도이며 변형 경로에 제한이 있으나 응력 3축성을 이용한 파단 한계도(TFD)의 경우 변형경로와 무관한 특징을 갖는다.

3차원 응력을 고려한 von Mises 항복이론에 상응하는 유효응력은 다음 식과 같다.

\[ \bar{\sigma} = \sqrt{\frac{1}{2} \left[ (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2 \right]} \tag{6.10} \]

판재성형 문제에 대해서는 2차원 구성 모델을 가진 평면응력으로 가정된다. 즉, \(\sigma_1\) 과 \(\sigma_2\) 만 고려되고 판재의 두께 방향 응력 \(\sigma_3\) 은 \(0\)으로 가정되기 때문에 식 (6.10)은 다음의 간결한 식으로 표현된다.

\[ \bar{\sigma} = \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - \sigma_1\sigma_2} \tag{6.11} \]

그림 6.6의 시편의 형상은 유한요소해석으로부터 각 응력상태가 진행되도록 결정된 것이다. 박판금속은 평면응력 상태(\(\sigma_3 = 0\))가 되기 때문에 쉽게 대표적인 응력상태를 계산할 수 있다. 전단 시편의 경우는 \(\eta = 0\) (\(\sigma_1 = \sigma_2 = 0\))가 되고, 단축인장시편의 경우는 \(\eta = 1/3\) (\(\sigma_1 = \bar{\sigma}, \sigma_2 = \sigma_3 = 0\)) 가 되며, 양축 인장의 경우는 \(\eta = 0.66\) (\(\sigma_1 = \sigma_2 = \bar{\sigma}\))가 된다.

Neukamm 등[6.5, 6.6]에 의해 개발된 GISSMO(Generalized Incremental Stress State damage MOdel)는 재료의 불안정성, 연화 및 파괴를 설명하는 연성 손상에 대한 현상학적 공식이다. 특정 구간 이후 응력이 감소하는 것을 손상 (damage)을 입었다고 표현해, 소재의 소성변형이 시작된 순간부터 손상이 시작되며 점차 손상이 누적되다가 임계값에 이르면 파단된다. \(D = 0\)은 변형되지 않은 재료에 해당하고, \(D = 1\)은 파단 측정 기준이 된다. 손상 축적은 다음을 기반으로 한다.

\[ \Delta D = \frac{n_D}{\bar{\varepsilon}_f} D^{(1 - \frac{1}{n_D})} \Delta \varepsilon_p \tag{6.12} \]

이 때, \(D\) 는 손상도이고 \(n_D\) 는 손상지수이다. \(\bar{\varepsilon}_f\) 는 파손 시 유효변형률이며 \(\Delta \varepsilon_p\) 는 유효소성변형률 증분이다. 인장시험에서 DIC(Digital Image Correlation) 기법으로 얻어진 실험값을 초기 입력치로 정하고, 유한요소해석 프로그램을 통하여 예측된 하중-변위(force-displacement) 값이 실험값과 같아지도록 최적화를 수행하여 식 (6.12)의 계수들을 결정한다.

(2) 3축 응력 파단 곡선의 유한요소 모델링

유동응력과 손상도를 결합한 구성방정식을 적용하여 최대 인장 하중(네킹 변형률) 이후의 유동응력의 인위적 감소를 일으키는 softening 기법 및 요소망 삭제 등의 기법이 유한 요소 모델링에 포함된다. 식 (6.13)은 소성과 손상모델의 결합은 파단 거동을 보여준다.

\[ \sigma^* = \bar{\sigma} (1 - \Delta D)^m \tag{6.13} \]

여기서 \(\sigma^*\) 와 \(\bar{\sigma}\) 는 각각 연화된 유동응력과 기준 유효응력을 말하고 \(m\) 은 재료 파단에 이르는 연화 계수(fading exponent)이며 일종의 재료상수가 된다. 따라서 그림 6.7과 같이 네킹 이후의 정확한 손상 거동의 표현이 가능하다. 그림 6.7에서 \(\sigma_t^U\) 는 인장강도에 상응하는 진응력을 의미하며, \(\varepsilon_t^N\) 와 \(\varepsilon_t^F\) 는 각각 네킹 점에서의 진변형률과 파단점에서 최대 진변형률을 의미한다.

그림 6.7 손상과 파단 모델에 대한 변형 특성

(3) 인장시험과 DIC 시험

인장시험은 서로 다른 응력상태에서 준 정적 하중 조건에서 수행되어야 하며, 인장시험에 가장 일반적으로 사용되는 장비는 만능시험기(universal testing machine) 또는 인장시험기이다. 기계에는 두 개의 크로스헤드가 있으며, 하나는 시편의 길이를 조정하는 데 사용되고 다른 하나는 시편의 구속에 사용된다.

시편의 표면에 부착되어 사용되는 스트레인 게이지 및 비접촉식 광학 신율계가 동적 변형률 또는 변위의 측정에 사용된다. 스트레인 게이지와 신율계의 관성은 실험결과에 영향을 미친다. 따라서 변위 및 변형률 측정 결과의 품질을 보호받기 위해서는 장치 사용법에 관한 세심한 주의를 기울여야 한다. 균열의 정확한 궤적을 획득하기 위해, 육안검사보다 DIC에 의한 과학적 방법의 사용이 바람직하다. DIC를 이용하면, 인장시험으로부터 측정 영역 전체에 대한 시간에 따른 변위 및 변형에 대한 신뢰할만한 데이터를 얻을 수 있다.

(4) Bai-Wierzbicki 모델 {: #bai-wierzbicki-model}

최근 많은 응용연구가 이루진 모델 중에 하나가 Bai와 Wierzbicki(BnW) 모델이다. 그들은 3축 응력상태 계수(stress triaxiality factor, \(\eta\))와 로데각(Lode angle \(\theta\)) 또는 정규화된 로데각(\(\bar{\theta}\))을 이용하여 파단 이론, 즉 연성파괴 이론에 근거한 손상도 모델을 제안하였으며, 실험결과와 좋은 일치를 보였다[6.4].

파단의 척도가 되는 손상도 \(D\) 는 아래와 같이 정의된다.

\[ D = \sum_i \frac{\Delta \bar{\varepsilon}_p^i}{\bar{\varepsilon}_p^{crit}} \tag{6.14} \]

여기서 \(\bar{\varepsilon}_p^i\) 는 \(i\) 번째 해석스텝에서의 소성변형률 증분이다. \(\bar{\varepsilon}_p^{crit}\) 는 BnW 파단변형률로 정의되며, 3축 응력상태 계수 \(\eta\) 와 주 방향과의 각도, 즉 로데각 \(\theta\) 또는 정규화된 로데각 \(\bar{\theta}\) 의 함수로 다음과 같이 정의된다.

\[ \bar{\varepsilon}_p^{crit} = f(\eta, \theta) \tag{6.15} \]

또는

\[ \bar{\varepsilon}_p^{crit} = f(\eta, \bar{\theta}) \tag{6.16} \]

여기서 3축 응력상태 계수 \(\eta\) 는 다음과 같이 정의되며,

\[ \eta = \frac{\sigma_m}{\bar{\sigma}} = \frac{\sigma_1 + \sigma_2 + \sigma_3}{3\bar{\sigma}} \tag{6.17} \]

\(\theta\) 와 정규화된 로데각 \(\bar{\theta}\) 는 각각 다음 식으로 정의된다.

\[ \theta = 2\frac{\sigma_2 - \sigma_3}{\sigma_1 - \sigma_3} - 1 \tag{6.18} \]

\[ \bar{\theta} = 1 - \frac{2}{\pi} \cos^{-1} \left( \frac{r}{\bar{\sigma}} \right)^3 \tag{6.19} \]

여기서 \(r\) 은

\[ r = \left[ \frac{27}{2} (\sigma_1 - \sigma_m)(\sigma_2 - \sigma_m)(\sigma_3 - \sigma_m) \right]^{\frac{1}{3}} \tag{6.20} \]

이며, 편차응력텐서의 세 번째 불변치의 함수이다. 소성변형률 증분(\(\Delta \bar{\varepsilon}_p^i\))은 변형률 증분(\(\dot{\bar{\varepsilon}}\))과 해석스텝의 시간증분(\(\Delta t\))의 곱으로부터 계산된다.

정규환된 로데각을 기준으로 한 BnW 파단변형률 \(\bar{\varepsilon}_p^{crit}\) 는 다음 식으로 계산된다.

\[ \bar{\varepsilon}_p^{crit} = C1 + C2 + C3 \tag{6.21} \]

\[ \begin{aligned} C1 &= \left[ 0.5 (D_1 e^{-D_2 \eta} + D_5 e^{-D_6 \eta}) - D_3 e^{-D_4 \eta} \right] \bar{\theta}^2 \\ C2 &= \left[ 0.5 (D_1 e^{-D_2 \eta} - D_5 e^{-D_6 \eta}) \right] \bar{\theta} \\ C3 &= D_3 e^{-D_4 \eta} \end{aligned} \tag{6.22} \]

여기서 \(D_1, D_2, D_3, D_4, D_5\) 그리고 \(D_6\) 은 재료상수이며, Bai-Wierzbicki 모델의 계수라고 부른다. 정규화된 로데각 \(\bar{\theta}\) 이 로데각 \(\theta\) 으로 대체되면, 이 계수들도 약간 달라질 수 있다. 일반적으로 정규화된 로데각에 바탕을 둔 Bai-Wierzbicki 모델이 주로 사용되고 있으므로 특별한 언급 없이 사용된 계수는 정규화된 로데각 \(\bar{\theta}\) 에 근거한 것을 의미한다.

Bai와 Wierzbicki는 Al-2004-T5소재에 대해 다양한 응력상태의 파단 시험을 수행하였다. Table 1은 Al-2004-T5에 대한 Bai-Wierzbicki 모델의 계수를 정리한 것이다.

[표 6-1] Bai-Wierzbicki 모델의 계수

D1	D2	D3	D4	D5	D6
0.063112	-4.94622	0.212041	-1.5111	0.21626	3.72498

그림 6.8은 Al2004-T5의 실험적 파단 한계와 Bai-Wierzbicki 모델의 비교 그래프를 나타낸다.

그림 6.8 파단시험과 BnW 2004 모델의 비교

이해를 돕기 위해 3축 응력상태를 계산해 보자. 그림 6.9는 이 절에서 3축 응력상태의 계산과 다음 절에서 손상도의 계산을 위한 문제를 정의하고 있다. 이 공정은 후판 버링(burring) 공정으로 파단에 민감한 특징을 가지고 있다. 재료는 Al-2004-T5이며, 마찰계수를 0.05로 가정하였다.

그림 6.9 3축 응력상태의 계산 및 손상도 계산을 위한 문제의 정의

그림 6.10은 3축 응력상태의 분포를 나타내고 있다. \(\eta\) 값은 모서리 부의 바깥과 안쪽 표면에서 큰 변화가 있음을 확인할 수 있다.

그림 6.10 3축 응력상태 계수

6.3 손상도 모델의 비교

이 절에서는 앞에서 소개한 손상도 모델을 비교한다. 앞 절에서 사용된 공정과 동일한 공정에 대하여 다양한 손상도 모델을 적용하여 그 결과를 그림 6.11-6.16에 걸쳐 나타내었다.

그림 6.11, 그림 6.12, 그림 6.15 등은 유사하며, 내측 모서리 부근에서 손상도의 축적이 두드러진다. 이것은 Cockcroft-Latham 모델 수식에서 알 수 있는 바와 같이, 이와 관련된 3개의 손상도 모델은 최대 주응력(대부분 인장응력임)의 영향에 의존하고 있다. 이것은 식 (6.1), 식 (6.2), 식 (6.3)으로부터 직접 알 수 있으며, McClintock 모델에서 \(n = 1.0\) 이면 정규화된 Cockroft-Latham 모델과 거의 동일하다는 점으로부터 간접적으로 이 손상도 모델의 특성을 알 수 있다. 이 모델은 그림 6.9에서 보는 바와 같이 디버링 과정에서 생성되는 볼록한 모서리 부의 정상적인 파단을 예측하는 데는 적합하다. 그러나 재료에 따라 흔하지 않게 발생하는 오목한 모서리 부의 파단예측은 불가능하다. 한편, McClintock 모델에서 변수 \(n\) 은 \(0.0\)과 \(1.0\)의 사이 값이지만, 이 값에 따라 이 예제에 대한 결과 차이는 그다지 크지 않다. 그림 6.12는 \(n = 0.0\)인 경우이며, \(n\) 값이 증가할수록 분포가 확산되는 경향은 있지만, 그 변화는 크지 않다.

그림 6.11 정규화된 Cockcroft-Latham 손상도 모델 그림 6.12 McClintock (=0.0) 손상도 모델

그림 6.13의 Rice-Tracy 모델도 이들과 유사한 경향을 보이고 있다. 이것은 가정된 자연지수함수의 피적분함수 형태로 인해 인장응력의 영향이 상대적으로 과대 평가될 수밖에 없기 때문이다. 반면, Oyane 등의 모델과 Bai-Wierzbicki 모델은 유사한 손상도 분포를 예측한다. 식 (6.6)에서 보는 바와 같이 근본적으로 Oyane 모델도 평균응력에 의존적이지만, 변형률을 손상도에 더해주는 점과 평균응력이 음수일 때는 손상도의 감소를 초래한다는 것이 특징이다. 따라서 변형률이 큰 오목한 모서리에서 높은 손상도를 예측할 가능성이 높다. 따라서 이것은 그림 6.9에서 보는 바와 같이 모서리에서 발생하는 크랙의 예측 목적으로 사용될 수가 있다.

그림 6.11 정규화된 Cockcroft-Latham 손상도 모델 그림 6.12 McClintock (=0.0) 손상도 모델

Bai-Wierzbicki 모델은 수식적으로 복잡하기 때문에 타 모델에 비하여 물리적 의미를 수식으로부터 부여하는 것이 용이하지 않다. 그러나 그림 6.6에서 보는 바와 같이 3축 응력상태 계수에 따라 이론적으로 명확한 다양한 케이스를 표현할 수 있는 이점이 있다.

그림 6.11 정규화된 Cockcroft-Latham 손상도 모델 그림 6.12 McClintock (=0.0) 손상도 모델

6.4 손상도 연계 유동응력

비록 손상도의 누적에 따른 연화 현상을 해석 과정에서 반영하지 않더라도 손상도는 파단 여부의 결정에 유용하게 사용될 수 있다. 이런 이유로 실제 산업현장에서 손상도에 의존적인 연화 현상을 고려하지 않고 있다. 이 연화 현상을 고려하지 않는다면, 즉 손상도와 유동응력을 연계시키지 않는다면 손상도 모델이 성형하중 및 변형을 비롯한 타 예측결과에는 영향을 주지 않는다.

반대로 손상도와 유동응력을 연계시킨다면 전체의 해석결과에 다소의 영향을 미칠 수 있다. 재료학적 현상을 반영한다면 연계의 방법은 복잡할 수가 있다. 가령, 매개변수로 전위밀도 등이 사용될 수도 있다. 그러나 공학적 해를 얻는데는 현상학적인 관찰과 예측의 목적에 따라 단순한 함수가 유용할 수가 있다. 즉, 기존의 유동응력 함수에다 연화 목적의 함수, 즉 상온 유동응력 연화함수 \(\delta(D)\) 를 다음과 같이 사용할 수 있다.

\[ \bar{\sigma} = Y_0(1 + \bar{\varepsilon}/b)^n \delta(D) \tag{6.23} \]

그림 6.17 상온 유동응력 연화함수의 사례

식 (6.13)에서 \(\delta(D)\) 의 형식 중 하나인 지수함수가 이미 소개되었다. 그림 6.17은 손상도의 구간선형함수로 표현한 \(\delta(D)\) 의 사례이다. 이 함수는 손상도가 임계 손상도에 이르면, 강제적으로 유동응력을 \(\delta(D)\) 의 비율만큼 감소시키는 상온 유동응력의 연화함수이다.

그림 6.18은 그림 6.17의 상온 유동응력 연화함수를 이용한 요소퇴화기법과 손상도 기반 크랙전파기법을 이용한 딥피어싱 파단해석결과이다. 이 공정의 해석에 있어서 주목할 점은 딥피어싱의 공정 특성상 초기부터 크랙전파기법의 적용은 수치적으로 많은 어려움을 야기시킨다는 것이다.

(a) 요소퇴화기법 (유동응력 분포)

(b) 크랙전파에 의한 파단해석

그림 6.18 요소퇴화기법을 이용한 딥피어싱 공정의 해석