7 열전달 이론과 열전도방정식

7.1 열전달 이론

열전달은 전도, 대류, 방사 등에 의하여 이루어진다. 열전도는 물질의 내부에서의 열전달을 표현하는 것이고 대류와 방사는 경계에서 이루어진다.

전도 열전달은 기본적으로 높은 온도에서 낮은 온도로 이루어진다. 이러한 현상을 반영하는 열적 구성방정식(즉 열전도법칙)을 사용한다면, 자연적으로 열역학 2법칙을 만족시킨다. 열전도는 크기뿐만 아니라 방향을 갖는다. 즉, 벡터량이다. 따라서 유체가 유동하는 현상과 유사하다. 이 벡터량, 즉 열전도율 \(\mathbf{q}\) 를 열유동(heat flux)이라고 일컫는다. 그러므로 열전도 법칙은 열전도율과 온도의 관계를 규정하는 것이다. 가장 널리 사용하는 열전달 법칙이 Fourier 열전도법칙이며, 다음과 같이 수식화된다.

\[ \mathbf{q} = -k \nabla T \tag{7.1} \]

여기서 \(k\) 는 열전도계수이며, 일반적으로 위치와 온도의 함수로 간주된다. 식 (7.1)은 열유동이 온도 구배에 선형적으로 비례하며, 구배와 반대방향으로, 즉 온도가 높은 곳에서 낮은 곳으로 발생함을 의미한다.

대류 열전달은 표면에서 발생하는 것으로 표면의 온도와 대기의 온도 차이와 대기의 유동에 의하여 발생한다. 가장 널리 사용되는 대류 열전달 법칙은 다음과 같으며, 이를 Newton의 대류 열전달 법칙이라고 한다.

\[ \mathbf{q} = -h(T - T_\infty)\mathbf{n} \tag{7.2} \]

여기서 \(h\) 를 열전달계수라 하며, \(T\) 와 \(T_\infty\) 는 각각 소재의 표면온도와 대기온도이다. \(\mathbf{n}\) 은 경계에서 정의되는 외향법선단위벡터이다.

방사 열전달은 물체의 표면과 대기 또는 두 방사면 사이에서 원자나 분자 내에서 전자의 분포가 변화되었을 때 물체가 방사하는 에너지에 의하여 발생하는 열전달이다. 즉, 물체가 발생시키는 전자기파 형태로 에너지의 전달이 이루어지는 것을 방사 열전달이라고 한다. 물체가 발생하는 방사 열량은 절대온도(섭씨온도 + 273.15)의 4승에 비례한다. 따라서 두 물체간의 방사 열전달 법칙은 다음과 같다.

\[ \mathbf{q} = -\alpha \varepsilon (T^4 - T_\infty^4) \mathbf{n} \tag{7.3} \]

여기서 \(\alpha\) 는 Stefan-Boltzmann 상수이며, \(\alpha = 5.6704 \times 10^{-8} \, \text{W}\text{m}^{-2}\text{K}^{-4}\) 이다. \(\varepsilon\) 은 방사율(emissivity)이며, 같은 온도의 물체와 흑체(black body) 면과의 방사도의 비율을 의미한다. 흑체의 방사율은 1.0이며, 재료의 표면상태에 따라 그 값이 다르다. 가령, 알루미늄 호일은 0.03인 반면, 아노다이징 처리된 알루미늄은 약 0.9이다. \(\mathbf{n}\) 은 경계에서 정의되는 외향법선단위벡터이다.

7.2 열전도방정식

이 절에서는 수식의 간결한 표현을 위하여 지수표현법(부록 A 참조)을 따른다. 그리고 이 책에서 특별한 언급없이 사용된 수식은 지수표현법을 따른다. 고체의 열전달 현상은 다음과 같은 고체에 대한 열전도방정식으로 수식화된다.

\[ (k T_{,i})_{,i} + Q = \rho c \frac{\partial T}{\partial t} \tag{7.4} \]

여기서 \(T\) 와 \(t\) 는 각각 온도와 시간을 의미하고, \(k\) 와 \(\rho c\) 는 각각 열전도계수와 열용량을 의미한다. \(Q\) 는 발열율이며, 변형에너지에 기인한 발열율과 기타의 발열원에 기인한 발열율 \(Q_0\) 로 구성되어 있다. 즉, 발열율은

\[ Q = C_g \sigma_{ij} \dot{\varepsilon}_{ij} + Q_0 \tag{7.5} \]

로 표현된다. 발열비율계수 \(C_g\) 는 응력동력 \(\sigma_{ij} \dot{\varepsilon}_{ij}\) 중에서 열로 변환되는 비율을 의미한다. 일반적으로 응력동력의 90%(\(C_g = 0.9\)) 내외는 소성열로 변하고, 그 나머지는 재료의 결정구조 변화, 잔류변형에너지, 전위의 증가 등 내부에너지의 증가에 소요되는 것으로 알려져 있다. 식 (7.4)에서 첫 번째 항을 확산항(diffusion term)이라고 한다. 고체에 대한 열전달에서는 재료의 유동에 따른 온도변화율을 반영하는 대류항(convective term)은 무시된다.

한편, 경계조건은 다음과 같이 수식화된다.

\[ T = \bar{T} \quad \text{on } S_T \tag{7.6} \]

\[ k T_{,i} n_i = q_f - h_c(T - T_c) \quad \text{on } S_c \tag{7.7} \]

\[ k T_{,i} n_i = -h_q(T - T_w) \quad \text{on } S_q \tag{7.8} \]

\[ k T_{,i} n_i = -\sigma \varepsilon (T^4 - T_e^4) - h_e(T - T_e) \quad \text{on } S_e \tag{7.9} \]

여기서 \(n_i\) 는 외향단위법선벡터이며, \(\bar{T}, T_c, T_w, T_e\) 는 각각 주어진 온도, 접촉하는 물체 표면의 온도, 냉각수의 온도, 주위 환경의 온도를 나타내고, \(h_c, h_q, h_e\) 는 각각 접촉면의 열전달계수, 냉각수와의 대류열전달계수, 주위환경과의 대류열전달계수를 나타낸다. \(\sigma \varepsilon\) 은 Stefan-Boltzmann 상수와 물체의 방사율(emissivity)의 곱이다. \(q_f\) 는 마찰에 의하여 접촉면에서 발생하는 발열율을 나타내며, 다음과 같다.

\[ q_f = C_f |(v_t - \bar{v}_t)\sigma_t| \tag{7.10} \]

여기서 \(v_t\) 와 \(\bar{v}_t\) 는 각각 공작물과 금형의 접선방향의 속도 성분이며, \(\sigma_t\) 는 접촉면의 접선응력이다. \(C_f\) 는 \(0.0\)에서 \(0.5\) 사이의 값을 갖는 상수이며, 경계면에서의 마찰열을 고려해 주기 위한 것이다.

표 7-1에 주요 상용 소재의 열적 정보와 함께 기초 정보들이 정리되어 있다.

[표 7-1] 주요 상용 재료의 열적, 역학적, 재료학적 정보